[論文レビュー] Diffusion limits for a Markov modulated counting process

Peter Spreij, Jaap Storm|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、急激なスイッチングおよび大規模集団の極限において、マコフ変調型2項計数過程の弱極限定理を確立し、拡散過程をもたらす関数中心極限定理近似を導出する。主な貢献は、債務者数の増大か、変調マコフ連鎖の加速かに応じて異なる拡散極限が得られることを特定することであり、これはレジームスイッチング下での信用リスクモデリングに応用可能である。

ABSTRACT

In this paper we study limit behavior for a Markov-modulated (MM) binomial counting process, also called a binomial counting process under regime switching. The concept of Markov-modulation has become increasingly popular in many branches of science. For example, one can model asset prices with stochastic processes, or model the 'state of the economy' by a Markov. The binomial counting process naturally appears in the context of credit risk when multiple obligors are present. Markov modulation takes place when the failure/default rate of each individual obligor depends on an underlying Markov chain. The limit behavior under consideration occurs when the number of obligors increases unboundedly, and/or by accelerating the modulating Markov process, called rapid switching. The interest is in finding weak limits in each of these cases, more specifically of a functional central limit type. In other words we will study diffusion approximations. Depending on the specific circumstances, different approximations are found.

研究の動機と目的

• 債務者数が非常に大きくなる場合の2項計数過程の漸近的挙動を分析すること。
• 基礎となる連続時間マコフ変調過程における急速なスイッチングが、極限分布に与える影響を調査すること。
• 異なるスケーリング則の下で、計数過程の弱極限（関数的中心極限定理型）を導出すること。
• レジーム依存のデフォルト強度を有する信用リスクモデリングに適した拡散近似を提供すること。
• プロセスのスケーリングに応じて異なる拡散極限が出現する条件を明確にすること。

提案手法

• デフォルト率が基礎となる連続時間マコフ連鎖によって制御される2項過程として計数過程をモデル化すること。
• 債務者数が無限大に近づく際の極限挙動を分析するために、弱収束技術を適用すること。
• 変調マコフ連鎖の加速を導入することで、急速なスイッチングの状態を研究するための時間スケール分離を実施すること。
• 集団サイズとスイッチング速度の両方を同時にスケーリングする条件下で、正規化された計数過程の関数的中心極限定理を導出すること。
• マルティンゲール関数的中心極限定理理論を用いて、極限において拡散過程への収束を確立すること。
• 2つの漸近的状態（固定されたスイッチングを伴う大規模集団、固定された集団における急速なスイッチング）を区別し、それぞれが異なる拡散極限をもたらすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 債務者数が無限大に近づく際、マコフ変調型2項計数過程の弱極限は何か？
• RQ2 基礎となるマコフ変調過程における急速なスイッチングが、計数過程の極限分布に与える影響は何か？
• RQ3 正規化された計数過程が分布収束するための条件は何か？
• RQ4 異なるスケーリング則（大規模集団対比・急速スイッチング）において、どのような異なる拡散近似が生じるか？
• RQ5 極限における拡散過程は、信用リスク応用におけるレジームスイッチングダイナミクスをどのように反映するか？

主な発見

• 債務者数が大きく、変調マコフ連鎖が固定された場合、正規化された計数過程は弱収束して拡散過程に近づく。
• 変調マコフ連鎖が急速にスイッチングする場合、極限過程は再び拡散過程であるが、高速スイッチング状態の平均化により異なる有効強度を示す。
• 極限における拡散過程は、レジームスイッチングダイナミクスを反映する時間変換付きブラウン運動成分を特徴付ける。
• 両方のスケーリング（集団サイズとスイッチング速度）を同時に適用する条件下で、関数的中心極限定理が成立し、集団サイズとスイッチング速度の両方の効果を捉えた拡散近似が得られる。
• 本研究の結果は、状態依存のデフォルト強度を有する信用リスクモデルの拡散過程による近似を正当化する理論的基盤を提供する。
• 本稿は、大規模集団と急速スイッチングの2つの明確な極限状態を特定し、それぞれが異なる拡散近似をもたらすことを示している。