[論文レビュー] Diffusion processes with weak constraint through penalization approximation

Jean-François Jabir|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$K \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ に属する確率測度の集合として与えられた制約集合 $K$ に時間周辺分布が常に含まれるように保つ制約付き拡散過程を構築するためのペナルティ法を提案する。この方法では、$W_2$-ウォッサーシュタイン距離を用いて、過程の法を $K$ に射影することで実現する。主な結果として、ペナルティ付きSDEが弱い制約を満たす極限過程に収束することを確立し、制御過程がウォッサーシュタイン空間における一般化されたスコロフ型反射に相当することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the construction of a diffusion process whose time-marginal densities are constrained to belong to a given set at all time. The construction is obtained from a penalization approximation to the constraint set, acting on the Wasserstein distance W2 to the constraint space. Under some technical assumptions on the constraint space and the initial distribution of the model, the penalization approximation yields to a stochastic differential equation analogous to the Skorohod problem of reflected diffusion.

研究の動機と目的

• 与えられた部分集合 $K \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ に含まれる時間周辺分布を持つ拡散過程を構築すること。
• 過程の法に対する制約を課すために $W_2$-ウォッサーシュタイン距離に基づくペナルティ近似法を開発すること。
• ペナルティ付き系が弱い制約を満たし、スコロフ反射に類似した制御成分を示す極限過程に収束することを確立すること。
• 経路に沿った制約ではなく、過程の法に対する弱い制約に拡張された反射型拡散の枠組みを構築すること。

提案手法

• 制御過程 $L^\epsilon_t$ が、現在の法 $\mu_\epsilon(t)$ から制約集合 $K$ への $W_2$-最適輸送写像を介して $\mu^K_\epsilon(t)$ に射影されることで定義される $\epsilon$-ペナルティ付きSDEを導入する。
• ペナルティ項を $L^\epsilon_t = \int_0^t \frac{T^{\mu_\epsilon(s)\to\mu^K_\epsilon(s)}(X^\epsilon_s) - X^\epsilon_s}{\epsilon} \, ds$ と定義し、法が $K$ に近づくように駆動する。
• 現在の法と制約集合との距離を測るためにウォッサーシュタイン距離 $W_2$ を用い、射影には最適輸送理論を活用する。
• 制御過程の収束を扱い、極限におけるtightnessを保証するために、確率的時間変換 $\theta_\epsilon$ を用いた時間変換形式を適用する。
• 極限過程が弱い制約を満たすことを示すために、カーディナルパス空間におけるスコロフ収束を用いて、ペナルティ付き過程の法収束を証明する。
• 極限制御過程 $L^0_t$ が、極限過程の法を含む変分不等式を満たすことを確立し、制約の維持を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間周辺分布が与えられた集合 $K \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ に常に含まれるようにできる拡散過程を構築できるか？
• RQ2 $W_2$-ウォッサーシュタイン距離に基づくペナルティ法を用いて、このような弱い制約をどのように実現できるか？
• RQ3 ペナルティ付きSDEは、弱い制約を満たし、一般化されたスコロフ型反射条件を満たす極限過程に収束するか？
• RQ4 最適輸送は、弱い制約付き拡散過程の制御メカニズムを定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 極限制御過程は、ウォッサーシュタイン空間における極限拡散の法とどのように関係するか？

主な発見

• ペナルティ付きSDEは、弱い制約 $\text{Law}(X^0_t) \in K$ をすべての $t \in [0,T]$ で満たす極限過程 $(X^0_t, L^0_t)$ に法収束する。
• 極限制御過程 $L^0_t$ は連続的かつ有界 Variation を持ち、すべての $Y$ に対して $\text{Law}(Y_r) \in K$ を満たすような $Y$ について、$\mathbb{E}\left[\int_s^t (Y_r - X^0_r) \cdot dL^0_r\right] \leq 0$ を満たす変分不等式を満たす。
• 極限のパス連続性により、収束は $\mathcal{C}([0,T]; \mathbb{R}^{4d})$ 内のスコロフ位相において成立する。
• 極限過程は、制御 $L^0_t$ が法制約を保証するように、$X^0_t = X^0_0 + \int_0^t b(s,X^0_s)ds + \int_0^t \sigma(s,X^0_s)dW_s + L^0_t$ というSDEを満たす。
• 古典的なスコロフ反射問題を、ウォッサーシュタイン空間における法の設定に一般化し、最適輸送を駆動メカニズムとして用いる。
• ペナルティ機構により、過程の法が $W_2$-最適写像を介して $K$ に射影され、制御項は $K$ からの $W_2$-距離に比例する力として機能する。