[論文レビュー] Diffusive Nambu-Goldstone modes in quantum time-crystals

Tomoya Hayata, Yoshimasa Hidaka|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Nonlinear Photonic Systems被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、開放量子系におけるシュヴィンガー＝ケルディッシュ形式を用いて、量子時間結晶における拡散的Nambu-Goldstoneモードを調査する。複素スカラー場の有効作用とノネット保存則を導出し、時間並進対称性とU(1)対称性が、拡散的分散関係を示すギャップレスモードを生じることを示している。これは、周期的駆動系におけるレッテッド・グリーン関数の摂動的解析とゼロモード解の確認によって裏付けられている。

ABSTRACT

We study the Nambu-Goldstone (NG) modes associated with spontaneous breaking of the continuous time-translation symmetry. To discuss a quantum time-crystal with the spontaneously-broken continuous time-translation symmetry, we introduce the van der Pol type nonlinear-friction to open quantum systems. By considering small fluctuations around a time-periodic mean-field solution, we show that a gapless collective mode necessarily appears; this is nothing but the NG mode associated with a time crystal. We show that its dispersion relation becomes $ω=-iC\bm p^2$. We also show that noncommutative breaking of the time-translation and U(1) symmetries results in mixing of the NG modes, and the (typically) propagating NG mode appears, whose dispersion relation becomes $ω=(\pm C_1-iC_2)\bm p^2$.

研究の動機と目的

• 連続的な時間並進対称性の破れを示す量子時間結晶におけるNambu-Goldstoneモードの出現を理解すること。
• シュヴィンガー＝ケルディッシュ経路積分形式を用いて、環境と結合する開放量子系の有効作用を導出すること。
• 時間並進対称性およびU(1)対称性に関連するノネット保存則が、系の低エネルギー力学に与える役割を特定すること。
• 特に周期的駆動系において、散乱および非線形性の存在下でのNambu-Goldstoneモードの分散関係を分析すること。
• レッテッド・グリーン関数とその極を計算するためのフレームワークを確立し、モードスペクトルおよび拡散行動を決定すること。

提案手法

• シュヴィンガー＝ケルディッシュ経路を用いて、開放量子系の経路積分を形式化し、環境の自由度を統合することで、系の有効作用を導出する。
• 場のR/A基底を導入し、φ_R = (φ₁ + φ₂)/2 および φ_A = φ₁ - φ₂ と定義することで、有効作用における平均場と差分場を分離する。
• 有効作用 S_eff[φ₁, φ₂] = S_sys[φ₁] - S_sys[φ₂] + Γ[φ₁, φ₂] を導出し、Γは環境による散乱および非線形効果を記述する。
• ノネット手続きを適用して、連続的対称性（時間並進およびU(1)対称性を含む）に関連する保存電流 j_A^{aμ} を特定する。
• 一般化されたWatanabe-Brauner行列を構築し、時間周期的背景における未摂動ハミルトニアン H₀ のゼロモードを解く。
• H₀ の左および右ゼロ固有ベクトルを用いて、レッテッド・グリーン関数への摂動補正 V₀₀(ω, p) を計算し、拡散的分散関係を示す2×2行列を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱の存在下で、時間並進対称性が破れた量子時間結晶におけるNambu-Goldstoneモードはどのように出現するか？
• RQ2 環境は、開放量子系におけるゴールドストーンモードの分散関係にどのように寄与するか？
• RQ3 時間並進およびU(1)対称性に関連するノネット保存則は、系の有効力学にどのように寄与するか？
• RQ4 対称性が破れた周期的駆動系におけるレッテッド・グリーン関数の構造およびその極は何か？
• RQ5 線形化された運動方程式とゼロモード解析から、Nambu-Goldstoneモードの拡散的性質を解析的に導出できるか？

主な発見

• 系の有効作用には、Γ[φ₁, φ₂] = ∫d⁴x[φ_A γ(1 - κφ_R²)∂ₜφ_R + iAφ_A²] の形の散乱項が含まれており、減衰および非線形性を導入する。
• 時間並進対称性に対応するノネット保存則は、j_A^{T0} = -∂ₜφ_A*∂ₜφ_R - ∂ₜφ_R*∂ₜφ_A + φ_A*∇²φ_R + φ_R*∇²φ_A + (μ² - m² + λ|∂ₜφ_R|²)(φ_A*φ_R + φ_R*φ_A) + iA|φ_A|² として明示的に計算される。
• 未摂動ハミルトニアン H₀ のゼロモードは、Ψ₀^(T) = (ḋφ₁₀, ḋφ₂₀) および Ψ₀^(Q) = (−φ₂₀, φ₁₀) であり、それぞれ時間並進およびU(1)対称性に対応する。
• レッテッド・グリーン関数への摂動補正 V₀₀(ω, p) は、[ω² + i a ω − p², −i c ω; i b ω, ω² + i d ω − p²] の形の2×2行列であり、係数 a, b, c, d はゼロモード固有ベクトルおよび背景場の積分で与えられる。
• 殻上条件 det V₀₀(ω, p) = 0 により、小運動量領域で拡散的モードと整合する分散関係が得られ、p が小さいときには極が ω ≈ −i(Γ/2) ± i(p²/2) に位置することが示される。
• 拡散的挙動は、減衰（γ）、非線形性（κ）、および背景場の周期的時間依存性の相乗作用によって生じ、ゼロモード方程式の数値的解法によって確認されている。