[論文レビュー] Diffusivity of Rescaled Random Polymer in Random Environment in dimensions 1 and 2

Zi Sheng Feng|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元におけるランダム環境下のスケーリングされたランダム高分子の拡散的挙動を確立する。中間スケーリング領域—$d=1$ では $β = o(N^{-1/4})$、$d=2$ では $β = o((\log N)^{-1/2})$—における分配関数の2次モーメントおよび高分子の変位の解析を通じて、$N \to \infty$ のとき、スケーリングされた平均二乗変位が確率的に1に収束することを証明した。これは、クエンチド・ディスオーダーが存在するにもかかわらず、拡散的スケーリングが成立することを確認するものである。

ABSTRACT

We show random polymer is diffusive in dimensions 1 and 2 in probability in an intermediate scaling regime. The scale is $β= o(N^{-1/4})$ in d=1 and $β=o((\log N)^{-1/2})$ in $d=2$ as $N ightarrow \infty$.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元における低次元での指向的高分子の拡散的挙動を確立すること。
• 時間 $N$ とともにゆっくりと減少する不純度強度 $c_{N,d}$ のスケーリング領域を分析すること。具体的には $c_{N,1} = N^{-(1/4 + \epsilon)}$ および $c_{N,2} = \log N^{-(1/2 + \epsilon)}$ である。
• $N \to \infty$ のとき、スケーリングされた平均二乗変位 $\langle \omega(N)^2 \rangle_{N,h} / N \to 1$ が確率的に収束することを示すこと。
• 分配関数 $Z(N)$ および重み付き変位 $K(N)$ の2次モーメントを制御することで、確率的収束を確立すること。

提案手法

• 高分子測度を $n$-点相互作用の寄与に分解することにより、分配関数 $Z(N)$ および重み付き変位 $K(N)$ の2次モーメント展開を用いる。
• i.i.d. 環境 $h(n,x) = \pm 1$ の独立性および平均ゼロの性質を適用し、$E_Q[Z(N)^2]$ および $E_Q[K(N)^2]$ において、交差項が相互作用時刻にパスが一致しない限り消えることを示す。
• 1次元および2次元における帰還確率 $p_0(2k,0)$ の推定値—それぞれ $\sim k^{-1/2}$ および $\sim k^{-1}$—を用いて、$c_{N,d}^2 N^{1/2}$ および $c_{N,d}^2 \log N$ の項に2次モーメントを有界化する。
• 単一サイト寄与の和を中央化するために正規化係数 $a_{N,d}$ を導入し、これによりリンデバーグ＝フレラーの中心極限定理を適用して、ガウス分布への収束を示す。
• チェビシェフの不等式を用いて、スケーリング後の剰余項 $R_N$ が確率的に消えることを証明し、主な寄与が線形項から来ることを保証する。
• リンデバーグ＝フレラー定理を適用して、単一サイト寄与のスケーリングされた和がガウス分布に収束することを検証し、これに剰余項が消えることとを組み合わせて、主要な結果を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元および2次元におけるランダム環境下の指向的高分子の平均二乗変位が、中間の不純度強度下で拡散的スケーリング $N$ に収束するか？
• RQ2 低次元における拡散的挙動を保証するための不純度強度 $c_{N,d}$ の臨界スケーリングは何か？
• RQ3 このスケーリング下で、分配関数および重み付き変位の2次モーメントを制御できるか？ その結果、確率的収束を証明できるか？
• RQ4 環境の分散およびパスの重なり確率の依存性が、拡散的極限にどのように影響するか？
• RQ5 このスケーリング領域下で、単一サイトを超える高次相互作用の寄与は、$N \to \infty$ の極限において無視できるか？

主な発見

• $d=1$ および $d=2$ において、指定されたスケーリング下で、スケーリングされた平均二乗変位 $\langle \omega(N)^2 \rangle_{N,h} / N \to 1$ が確率的に収束する。
• $d=1$ では、分配関数の2次モーメントに対して $E_Q[Z(N)^2] \leq \sum_{n=0}^N (c_1 c_{N,1}^2 N^{1/2})^n$ が成り立ち、$K(N)$ に対しても同様の評価が $N^2$ 要素を追加することで成り立つ。
• $d=2$ では、$Z(N)$ の2次モーメントは $\sum_{n=0}^N (c_2 c_{N,2}^2 \log N)^n$ で有界であり、$K(N)$ に対しても同様の制御が可能である。
• 分配関数 $Z(N)$ の展開における線形項 $\sum_{k=1}^N a_{N,d} f_k$ は、$a_{N,d} = (c_{N,d}^2 \cdot \text{スケーリング})^{-1/2}$ のとき、ガウス確率変数に分布収束する。ここでスケーリングは $c_{N,d}$ の減少率と一致する。
• スケーリング後の剰余項 $R_N$ は、$E_Q[(a_{N,d} R_N)^2] \to 0$ であるため、確率的に消える。これにより、線形項が極限において支配的になることが保証される。
• この結果は、$d=1$ では $c_{N,1}^2 N^{1/2} \to 0$、$d=2$ では $c_{N,2}^2 \log N \to 0$ の中間スケーリング下で成り立つ。これは、拡散的挙動の成立に必要なスケーリング領域の鋭さを確認するものである。