[論文レビュー] Digitization of Scalar Fields for NISQ-Era Quantum Computing

Natalie Klco, Martin J. Savage|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

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ひとこと要約

この論文は、NISQ時代の量子コンピュータ上でスカラー場理論をデジタル化するフレームワークを提案し、qubitリソースを効率的に活用する。Nyquist-Shannonのサンプリング定理を活用してデジタル化誤差を最小限に抑える。局在状態では4 qubitで十分であり、空間的サイト1つあたり10 qubit未満で十分にデジタル化誤差をNISQデバイスのノイズレベル以下に抑えることができ、従来の改善作用法による格子断層の低減法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Qubit, operator and gate resources required for the digitization of lattice $\lambda\phi^4$ scalar field theories onto quantum computers in the NISQ era are considered, building upon the foundational work by Jordan, Lee and Preskill. The Nyquist-Shannon sampling theorem, introduced in this context by Macridin, Spetzouris, Amundson and Harnik building on the work of Somma, provides a guide with which to evaluate the efficacy of two field-space bases, the eigenstates of the field operator, as used by Jordan, Lee and Preskill, and eigenstates of a harmonic oscillator, to describe $0+1$- and $1+1$-dimensional scalar field theory. We show how techniques associated with improved actions, which are heavily utilized in Lattice QCD calculations to systematically reduce lattice-spacing artifacts, can be used to reduce the impact of the field digitization in $\lambda\phi^4$, but are found to be inferior to a complete digitization-improvement of the Hamiltonian using a Quantum Fourier Transform. When the Nyquist-Shannon sampling theorem is satisfied, digitization errors scale as $|\log|\log |\epsilon_{ m dig}|||\sim n_Q$ (number of qubits describing the field at a given spatial site) for the low-lying states, leaving the familiar power-law lattice-spacing and finite-volume effects that scale as $|\log |\epsilon_{ m latt}||\sim N_Q$ (total number of qubits in the simulation). We find that fewer than $n_Q =10$ qubits per spatial lattice site are sufficient to reduce digitization errors below noise levels expected in NISQ-era quantum devices for both localized and delocalized field-space wavefunctions. For localized wavefunctions, $n_Q = 4$ qubits are likely to be sufficient for calculations requiring modest precision.

研究の動機と目的

• NISQ時代の量子コンピュータ上でスカラー場理論をデジタル化するためのqubit、ゲート、演算子リソースの使用を評価・最適化すること。
• 0+1次元および1+1次元のφ⁴理論の表現に用いる2つの場空間基底—場演算子の固有状態と調和振動子ハミルトニアンの固有状態—の有効性を比較すること。
• 格子QCDにおける改善作用法の技術がデジタル化誤差を低減できるかどうかを評価し、量子フーリエ変換を用いたハミルトニアンの完全なデジタル化改善法と比較すること。
• 局在的および非局在的波動関数の両方において、デジタル化誤差をNISQデバイスのノイズレベル以下に抑えるために必要な空間的サイト1つあたりの最小qubit数を特定すること。

提案手法

• デジタル化の忠実度を評価するための指針として、Nyquist-Shannonのサンプリング定理をスカラー場理論の量子コンピュータ上への適用に用いる。
• 2つの場空間基底を比較：場演算子の固有状態（Jordan, Lee, Preskillが使用）と調和振動子ハミルトニアンの固有状態。
• 格子QCDで一般的に用いられる改善作用法を、場のデジタル化における格子間隔に起因する断層を低減するために評価する。
• 量子フーリエ変換（QFT）を用いた完全なデジタル化改善法を提案・分析し、ハミルトニアン表現の精度を向上させる。
• デジタル化誤差のスケーリングを、$|\log|\log|\epsilon_{\text{dig}}||| \sim n_Q$ として定量的に評価し、$n_Q$ は空間的サイト1つあたりのqubit数を表す。
• 有限体積効果および格子間隔効果のスケーリングを、$|\log|\epsilon_{\text{latt}}|| \sim N_Q$ として分析し、$N_Q$ は総qubit数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場演算子の固有状態と調和振動子ハミルトニアンの固有状態という2つの場空間基底は、デジタル化忠実度およびリソース効率の観点でどのように比較できるか？
• RQ2 格子QCDにおける改善作用法の技術は、NISQデバイス上でのスカラー場理論シミュレーションにおけるデジタル化誤差をどの程度低減できるか？
• RQ3 量子フーリエ変換を用いた完全なデジタル化改善法は、従来の格子断層低減法を上回る性能を示すか？
• RQ4 デジタル化誤差を予想されるNISQデバイスのノイズレベル以下に抑えるために必要な空間的サイト1つあたりの最小qubit数は何か？
• RQ5 特に低エネルギー準位の状態において、使用するqubit数の増加に伴いデジタル化誤差はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• デジタル化誤差は $|\log|\log|\epsilon_{\text{dig}}||| \sim n_Q$ とスケーリングし、$n_Q$ は空間的サイト1つあたりのqubit数を表す。これは対数的対数的収束を示す。
• 局在的および非局在的波動関数の両方において、空間的サイト1つあたり $n_Q = 10$ qubit未満で十分にデジタル化誤差をNISQ時代のデバイスで予想されるノイズレベル以下に抑えることができる。
• 局在的波動関数のシミュレーションでは、わずかな精度要件であれば、サイト1つあたり $n_Q = 4$ qubitで十分であると推定される。
• 量子フーリエ変換に基づくハミルトニアンのデジタル化改善法は、従来の改善作用法よりもデジタル化断層を低減する点で優れている。
• 有限体積効果および格子間隔効果は $|\log|\epsilon_{\text{latt}}|| \sim N_Q$ とスケーリングし、$N_Q$ は総qubit数を表す。これはデジタル化誤差とは異なるスケーリングを示す。
• Nyquist-Shannonのサンプリング条件を満たせば、適度なqubit数で実用的なNISQデバイスのノイズレベルにおいてデジタル化誤差は無視できるようになる。