[論文レビュー] Digraph Decompositions and Monotonicity in Digraph Searching

Stephan Kreutzer, Sebastian Ordyniak|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、非可視で怠惰な泥棒を相手にした有向グラフにおける泥棒と警察のゲームの2つの変種——非可視で怠惰な泥棒、または可視で速い泥棒を相手にした場合——が非単調であることを証明することで、有向グラフ探索における長年の未解決問題を解決した。著者らは、単調な戦略が非単調な戦略よりも著しく多くの警察を要することを示す明示的な反例を構築し、さらに、非常に低いDAG幅をもつグラフに対しても多くの自然な問題がNP完全のままであることを示した。これは、有向グラフの分解のアルゴリズム的応用の範囲を制限するものである。

ABSTRACT

We consider monotonicity problems for graph searching games. Variants of these games - defined by the type of moves allowed for the players - have been found to be closely connected to graph decompositions and associated width measures such as path- or tree-width. Of particular interest is the question whether these games are monotone, i.e. whether the cops can catch a robber without ever allowing the robber to reach positions that have been cleared before. The monotonicity problem for graph searching games has intensely been studied in the literature, but for two types of games the problem was left unresolved. These are the games on digraphs where the robber is invisible and lazy or visible and fast. In this paper, we solve the problems by giving examples showing that both types of games are non-monotone. Graph searching games on digraphs are closely related to recent proposals for digraph decompositions generalising tree-width to directed graphs. These proposals have partly been motivated by attempts to develop a structure theory for digraphs similar to the graph minor theory developed by Robertson and Seymour for undirected graphs, and partly by the immense number of algorithmic results using tree-width of undirected graphs and the hope that part of this success might be reproducible on digraphs using a directed tree-width. Unfortunately the number of applications for the digraphs measures introduced so far is still small. We therefore explore the limits of the algorithmic applicability of digraph decompositions. In particular, we show that various natural candidates for problems that might benefit from digraphs having small directed tree-width remain NP-complete even on almost acyclic graphs.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける泥棒と警察のゲームが、非可視で怠惰な泥棒を相手にした場合、または可視で速い泥棒を相手にした場合に単調であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• DAG幅のような幅測度に関連して、有向グラフ分解のアルゴリズム的 tractability の限界を調査すること。
• グラフグリンドー番号付けやカーネル問題のような自然な問題が、小さな有向幅をもつ有向グラフにおいても tractable であるかどうかを特定すること。
• これらのゲームにおける単調性のコストが無限大であることを確立し、単調な戦略における定数倍近似が可能でないことを挑戦すること。

提案手法

• 特定の有向グラフを用いて、2つのゲーム変種における非単調性を示す明示的な反例を構築する。
• 既知のNP完全問題（3-SAT、FAS、グラフグリンドー番号付け、カーネル）を、DAG幅が有界な有向グラフに還元することで、非 tractability を証明する。
• 特定の部分グラフ（例：変数ゲージや節サイクル）に対して2人の警察が単調な勝利戦略を設計することで、DAG幅を有界にする。
• サイクルや非巡回部分グラフなどのグラフ構造の分析を用いて、構築されたグラフがDAG幅2以下であることを証明する。
• ゲーム理論的推論を用いて、非単調な戦略が警察の数の観点で単調な戦略を上回ることを示す。
• 既存の幅測度の特徴づけを、泥棒と警察のゲームを通じて用いて、ゲームの単調性と分解理論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフにおける泥棒と警察のゲームが、非可視で怠惰な泥棒を相手にした場合に単調であるか？
• RQ2 有向グラフにおける泥棒と警察のゲームが、可視で速い泥棒を相手にした場合に単調であるか？
• RQ3 グラフグリンドー番号付けやカーネル問題のような自然な問題が、DAG幅が有界な有向グラフにおいて多項式時間で解けるか？
• RQ4 これらの有向グラフゲームにおける単調性コスト（追加で必要な警察の数）に定数上界が存在するか？
• RQ5 有向グラフ分解が、連結性やハミルトン路を越えて、自然な問題に対してどの程度アルゴリズム的 tractability を可能にするか？

主な発見

• 非可視で怠惰な泥棒を相手にした有向グラフにおける泥棒と警察のゲームは、明示的な反例によって非単調であることが示された。
• 可視で速い泥棒を相手にした有向グラフにおける泥棒と警察のゲームも非単調であり、同様の反例によって単調性コストが無限大であることが示された。
• フィードバックアークセット（FAS）問題は、DAG幅が4以下の有向グラフにおいてもNP完全である。
• グラフグリンドー番号付け問題は、DAG幅が2以下の有向グラフにおいてもNP完全である。
• カーネル問題は、DAG幅2の有向グラフにおいてもNP完全である。
• 多くの自然な問題が、ほとんど非巡回的な有向グラフ（例：DAG幅 ≤ 2）に対してもNP完全のままであるため、有向幅測度のアルゴリズム的パワーに根本的な限界があることが示された。