[論文レビュー] Digraphs from Endomorphisms of Finite Cyclic Groups

Min Sha|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、位数 n の有限巡回群の自己準同型から構成される、方向付きグラフ G(n,k) の族を導入する。各元は k 乗写像にマッピングされる。グラフの構造、特にサイクル長、自己同型群、隣接行列の性質を特徴づけ、自己同型群が n と k の素因数分解に依存することを示し、特に k が素数の場合に注目する。

ABSTRACT

We associate each endomorphism of a finite cyclic group with a digraph and study many properties of this digraph, including its adjacent matrix and automorphism group.

研究の動機と目的

• 有限巡回群の自己準同型から導かれる新しい方向付きグラフ G(n,k) を定義し、分析すること。
• G(n,k) の構造的性質、特にサイクル長、成分分解、頂点の入次数分布を特徴づけること。
• G(n,k) の自己同型群を特定し、特に k が素数の場合に、群作用やワルプ製品と関連付けること。
• 隣接行列の特性と最小多項式を研究し、その結果を有限体上の単項式力学系と結びつけること。

提案手法

• G(n,k) を、位数 n の巡回群 H の元を頂点とする方向付きグラフとし、f(a) = b であるとき a → b の有向辺を設ける。ここで f(x) = x^k である。
• 最大公約数、最小公倍数、オイラーのトーティエント関数などの数論的道具を用い、解の存在と逆像の個数を分析する。
• 元の位数、巡回部分群、d に対する乗法的位数といった群論的概念を用い、サイクル構造を分類する。
• 特に k が素数で (n,k) = k の場合に、自己同型群をワルプ製品の構成を用いて記述する。
• 補題 2.1 を用い、d = gcd(n,k) とし、a^{n/d} = 1 を満たす条件に基づいて、入次数 > 0 である頂点を特定する。
• 同じサイクルに属する頂点は同じ位数を持ち、サイクル長 ℓ(d) = ord_d(k)（d を法とする k の乗法的位数）に等しいことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限巡回群（位数 n）における自己準同型 f(x) = x^k によって生成される方向付きグラフ G(n,k) の構造は何か？
• RQ2 G(n,k) のサイクル長およびサイクル数は、パrameter n と k にどのように依存するか？
• RQ3 G(n,k) の自己同型群は何か？ また、n と k の素因数分解に応じてどのように変化するか？
• RQ4 G(n,k) の隣接行列はどのように特徴づけられるか？ その固有多項式と最小多項式は何か？
• RQ5 木成分 T_1 の自己同型群が、対称群と巡回群のワルプ製品と同型となる条件は何か？

主な発見

• G(n,k) における入次数 0 の頂点数は (d-1)/d × n であり、ここで d = gcd(n,k) である。入次数が正である頂点は、サイズ n/d の巡回部分群をなす。
• G(n,k) におけるサイクル頂点の数はちょうど t であり、ここで t は n と互いに素な最大の因子で、各サイクル頂点の位数は t で割り切れる。
• 位数 d のサイクルの長さは ℓ(d) = ord_d(k)（d を法とする k の乗法的位数）に等しく、最も長いサイクルの長さは ord_t(k) である。
• G(n,k) におけるサイクル総数は ∑_{d|t} φ(d)/ℓ(d) に等しく、ここで φ はオイラーのトーティエント関数、ℓ(d) = ord_d(k) である。
• k が素数で gcd(n,k) = k のとき、木 T_1 の自己同型群は Aut(T_1,h) ≅ Aut(T_1,h+1) ≀ S_k（h < h₀）に同型であり、Aut(T_1,h₀) は自明である。
• k が素数で gcd(n,k) = 1 のとき、G(n,k) の自己同型群は、対称群の巡回群へのワルプ製品に同型であり、具体的には (Z_m ≀ S_{m_1}) × ⋯ × (Z_s ≀ S_{m_s}) に同型である。