[論文レビュー] Dilatation structures with the Radon-Nikodym property

Marius Buliga|ArXiv.org|Jun 25, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、近似的な自己相似性を示す計量空間としての拡大構造（dilatation structures）において、絶対連続曲線の長さがその接ベクトルのノルムの積分に等しくなるように保証する、Radon-Nikodym性質を定義することで、一般化された微分可能性枠組みを導入する。主な貢献は、この性質が拡大構造間の「下を向く」写像（looking down maps）に関して保存されることの証明であり、これは、部分リーマン幾何学における曲線のほとんど everywhere での微分可能性の内在的説明を提供する。

ABSTRACT

In this paper I explain what is a pair of dilatation structures, one looking down to another. Such a pair of dilatation structures leads to the intrinsic definition of a distribution as a field of topological filters. To any pair of dilatation structures there is an associated notion of differentiability which generalizes the Pansu differentiability. This allows the introduction of the Radon-Nikodym property for dilatation structures, which is the straightforward generalization of the Radon-Nikodym property for Banach spaces. After an introducting section about length metric spaces and metric derivatives, is proved that for a dilatation structure with the Radon-Nikodym property the length of absolutely continuous curves expresses as an integral of the norms of the tangents to the curve, as in Riemannian geometry. Further it is shown that Radon-Nikodym property transfers from any "upper" dilatation structure looking down to a "lower" dilatation structure, theorem ef{ttransfer}. Im my opinion this result explains intrinsically the fact that absolutely continuous curves in regular sub-Riemannian manifolds are derivable almost everywhere, as proved by Margulis-Mostow, Pansu (for Carnot groups) or Vodopyanov.

研究の動機と目的

• 微分幾何学の道具に依存しない、部分リーマン幾何学の内在的かつ自己完結的な枠組みを構築すること。
• Carnot群におけるPansu微分の一般化として、拡大構造内での一般化された微分可能性の概念を定義すること。
• Banach空間における古典的対応物の一般化として、拡大構造におけるRadon-Nikodym性質を導入し、その性質を研究すること。
• Radon-Nikodym性質が、リーマン幾何学と類似する長さ公式（長さ＝接ベクトルのノルムの積分）を導くことを確立すること。
• 上位の拡大構造から下位の拡大構造への「下を向く」写像において、Radon-Nikodym性質が保存されることを証明し、正則な部分リーマン多様体における曲線のほとんど everywhere での微分可能性を説明すること。

提案手法

• 拡大構造を、特定の公理（A1–A4）を満たすスケーリング写像の族を備えた計量空間として定義し、近似的な自己相似性を記述する。
• 各点におけるリセットスケーリング写像の極限を用いて接 bundle を構成し、その構造を錐群（conical group）として得る。
• 関数の微分可能性を、スケーリングされた関数が接空間の錐群準同型へ一様収束することによって定義する。
• 曲線のmetric微分が接空間における接ベクトルのノルムに等しいという条件として、Radon-Nikodym性質を定義する。
• 拡大構造がRadon-Nikodyム性質を持つならば、任意の絶対連続曲線の長さが、その接ベクトルのノルムの積分として与えられることを証明する。
• 「下を向く」写像を通じて、上位の拡大構造から下位の拡大構造へのRadon-Nikodym性質の転送を確立し、合成則と一様微分可能性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Radon-Nikodym性質は拡大構造へ自然に一般化可能であり、リーマン幾何学における古典的長さ公式を回復するか？
• RQ2 拡大構造における微分可能性の概念は、Carnot群におけるPansu微分とどのように関係するか？
• RQ3 曲線の長さが接ベクトルのノルムの積分に等しくなるための条件は何か？
• RQ4 上位の拡大構造から下位の拡大構造に移行する際、Radon-Nikodym性質が保存される条件は何か？
• RQ5 正則な部分リーマン多様体における曲線の内在的微分可能性は、「下を向く」構造を通じたRadon-Nikodym性質の転送によって説明可能か？

主な発見

• Radon-Nikodym性質を有する拡大構造における任意の絶対連続曲線の長さは、接ベクトルのノルムの積分として与えられ、リーマン幾何学の長さ公式を一般化する。
• Radon-Nikodym性質は、曲線のmetric微分が接空間における接ベクトルのノルムに等しいことを意味する。
• 「下を向く」写像において、Radon-Nikodym性質は保存される：上位の拡大構造に性質があれば、下位の構造に対しても同様に成り立つ。
• 上位から下位の拡大構造へのRadon-Nikodym性質の転送は、正則な部分リーマン多様体における曲線のほとんど everywhere での微分可能性の内在的説明を提供する。
• 拡大構造間の関数の微分は錐群準同型であり、その合成則が成り立つ。
• 同値な拡大構造間の関数とその逆関数の微分可能性が一様であることは、構造が同値であることと同値である。