[論文レビュー] Dilation Theory for Rank 2 Graph Algebras

Kenneth R. Davidson, S. C. Power+1 more|ArXiv.org|May 31, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ可換関係と関連するランク2グラフC*-代数の拡大理論を展開し、欠損がなく、行に有界な表現が一意に最小$*$-拡大を有界な$*$-表現に持つことを証明する。Solelの行等長拡大定理の新たな簡略化された証明を提供し、普遍的代数$\mathcal{A}_u$のC*-包絡を一般化されたCuntz代数$\mathcal{O}_{X_u}$として同定する。また、有界な表現が完全有界でない可能性があり、普遍的テンソル代数$\mathcal{T}_+(X_u)$が一般には$\mathcal{A}_u$と等長同型ではないことを示す。これらの結果は、高ランクグラフC*-代数およびその非自己随伴版の基礎的構造を確立する。

ABSTRACT

An analysis is given of $*$-representations of rank 2 single vertex graphs. We develop dilation theory for the non-selfadjoint algebras $\A_θ$ and $\A_u$ which are associated with the commutation relation permutation $θ$ of a 2 graph and, more generally, with commutation relations determined by a unitary matrix $u$ in $M_m(\bC) \otimes M_n(\bC)$. We show that a defect free row contractive representation has a unique minimal dilation to a $*$-representation and we provide a new simpler proof of Solel's row isometric dilation of two $u$-commuting row contractions. Furthermore it is shown that the C*-envelope of $\A_u$ is the generalised Cuntz algebra $Ø_{X_u}$ for the product system $X_u$ of $u$; that for $m\geq 2 $ and $n \geq 2 $ contractive representations of $\Ath$ need not be completely contractive; and that the universal tensor algebra $\T_+(X_u)$ need not be isometrically isomorphic to $\A_u$.

研究の動機と目的

• ランク2単一頂点グラフに関連する非自己随伴代数$\mathcal{A}_\theta$および$\mathcal{A}_u$の拡大理論を構築すること。
• 欠損のない行有界表現に対して、最小$*$-拡大の存在と一意性を確立すること。
• $\mathcal{A}_u$のC*-包絡を、ユニタリ行列$u$に関連する積系$X_u$と関連する一般化されたCuntz代数$\mathcal{O}_{X_u}$として同定すること。
• 普遍的テンソル代数$\mathcal{T}_+(X_u)$とグラフ代数$\mathcal{A}_u$の関係を明確にし、それらが一般には等長同型ではないことを示すこと。
• $u$-可換な行有界表現に対するSolelの行等長拡大定理を、より簡潔で直接的な方法で再証明すること。

提案手法

• 行有界表現のFrahzo-Bunce-Popescu拡大理論を基礎的技術として用いる。
• 最小拡大の一意性を応用し、欠損のない表現に対する$*$-拡大の一意性を証明する。
• 生成子が正規直交基底をユニモジュラースカラーを除いて置換する部分等長作用を持つ原子的$*$-表現を、構造的解析の主要な道具として用いる。
• 自由半群$\mathbb{F}_u^+$における次数一致の語を用いて、巡回余不変部分空間上の表現を拡張することで、最小$*$-拡大を構成する。
• 同じ次数の異なる語の像の直交性を用いて、拡大写像下での内積を保存する。
• Kumjian-Paskの非周期的条件と半群構造を用いて、C*-代数$\mathrm{C}^*(\mathbb{F}_\theta^+)$を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての欠損のない行有界表現$\mathcal{A}_u$は、C*-代数$\mathrm{C}^*(\mathbb{F}_u^+)$の$*$-表現への一意な最小$*$-拡大を有するか？
• RQ2 $u$-可換関係行列を伴う普遍的代数$\mathcal{A}_u$のC*-包絡は何か？
• RQ3 $m, n \geq 2$のとき、$\mathcal{A}_\theta$のすべての有界表現は完全有界である必要があるか？
• RQ4 普遍的テンソル代数$\mathcal{T}_+(X_u)$は一般にグラフ代数$\mathcal{A}_u$と等長同型であるか？
• RQ5 $u$-可換な行有界表現に対するSolelの行等長拡大定理を、より簡潔で直接的な方法で再証明できるか？

主な発見

• すべての欠損のない行有界表現$\mathcal{A}_u$は、C*-代数$\mathrm{C}^*(\mathbb{F}_u^+)$の$*$-表現への一意な最小$*$-拡大を有する。
• $\mathcal{A}_u$のC*-包絡は、ユニタリ行列$u$に関連する積系$X_u$と関連する一般化されたCuntz代数$\mathcal{O}_{X_u}$として同定される。
• $m \geq 2$および$n \geq 2$のとき、$\mathcal{A}_\theta$の有界表現のうち完全有界でないものがある。
• 一般には、普遍的テンソル代数$\mathcal{T}_+(X_u)$は$\mathcal{A}_u$と等長同型ではない。
• 最小拡大の一意性とFrahzo-Bunce-Popescu理論を用いて、Solelの行等長拡大定理の新たな簡略化された証明を提供する。
• 原子的で欠損のない表現の最小$*$-拡大は、元の表現の構造的性質を保ったまま原子的のままである。