[論文レビュー] Dilations of matricies

David A. Cohen|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限次元ヒルベルト空間上の可換$n$-重の作用素に対して、正規$X$-拡大の存在と、次数を増加させる多項式正規$X$-拡大の存在との同値性を確立する。正規作用素値測度（POVM）の立方則公式とナイマークの拡大定理を用いて、有限次元の拡大を構成し、このような拡大が存在するのは、すべての多項式次数において近似拡大が存在する場合に限ることを証明する。

ABSTRACT

We explore aspects of dilation theory in the finite dimensional case and show that for a commuting $n$-tuple of operators $T=(T_1,...,T_n) $ acting on some finite dimensional Hilbert space $H$ and a compact set $X\subset \mathbb{C}^n$ the following are equivalent: 1. $T$ has a normal $ X$-dilation. 2. For any $m\in \mathbb{N}$ there exists some finite dimensional Hilbert space $K$ containing $H$ and a tuple of commuting normal operators $N=(N_1,...,N_n)$ acting on $K$ such that $$ q(T)=P_Hq(N)|_H$$ for all polynomials $q$ of degree at most $m$ and such that the joint spectrum of $N$ is contained in $X$ (where $P_H$ is the projection from $K$ to $H$).

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間上の可換$n$-重作用素が、コンパクト集合$X \subset \mathbb{C}^n$に対して正規$X$-拡大をもつための条件を同定すること。
• 正規$X$-拡大と多項式近似性質との関連を示し、有限次元拡大理論とスペクトル集合理論を結びつけること。
• 正規作用素値測度（POVM）と立方則公式を用いた、拡大の構成的枠組みを提供すること。
• アーヴェソンの拡大定理とフォン・ノイマン型不等式の有限次元類似を探索すること。
• 特に低次元において、可換な収縮作用素の族に対する$m$-拡大の存在と構成を調査すること。

提案手法

• 正規$X$-$m$-拡大の概念を導入：有限次元空間$K \supset H$上の可換な正規作用素族で、すべての次数$\leq m$の多項式$q$について、$q(T) = P_H q(N)|_H$を満たすもの。
• すべての$m$について$X$-$m$-拡大が存在するならば、極限による議論により正規$X$-拡大が存在することを証明する。
• 多項式の次数$\leq m$の有限次元部分空間$V$に制限された$C(X)$上のPOVMに対して、立方則公式を構成する。
• ナイマークの拡大定理を適用してPOVMをより大きなヒルベルト空間上のスペクトル測度に上昇させ、正規拡大を得る。
• 拡大された正規作用素の共同スペクトルを用いて、$X$に含まれることを保証し、必要なスペクトル条件を満たす。
• 既知の方向としてアーヴェソンの拡大定理を用いる：すべての$m$について$X$-$m$-拡大が存在するならば、正規$X$-拡大が存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換$n$-重の有限次元作用素が、正規$X$-拡大をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 $X$-$m$-拡大がすべての$m$について存在する場合、それを用いて完全な正規$X$-拡大を構成できるか？
• RQ3 可換な収縮作用素のペアに対して、ユニタリ$m$-拡大の有限次元的構成は可能か？
• RQ4 どの可換な収縮作用素の族が、$\|\varphi_j\|_\infty \leq 1$を満たす$\varphi_j \in A(\mathbb{D})$に対して$\varphi_j(S_d)$として表されるか？
• RQ5 $X$が完全なスペクトル集合であるとき、$m$-拡大を明示的に構成できるか？

主な発見

• 有限次元ヒルベルト空間$H$上の可換$n$-重作用素$T = (T_1, \dots, T_n)$に対して、正規$X$-拡大が存在することは、すべての$m \in \mathbb{N}$について$X$-$m$-拡大が存在することと同値である。
• このような拡大の構成は、次数$\leq m$の多項式の有限次元部分空間に制限された$C(X)$上のPOVMの立方則公式に依存する。
• 立方則公式の存在により、POVMが有限ランクのスペクトル測度によって正確に近似可能となり、ナイマークの定理の適用が可能になる。
• 得られる拡大は、$K \supset H$の有限次元空間上の可換な正規作用素族であり、共同スペクトルは$X$に含まれる。
• 証明により、$X$が$T$の完全なスペクトル集合であることと、すべての$m$について$X$-$m$-拡大が存在することは同値であることが示され、スペクトル集合理論と拡大理論が結びつけられる。
• 下三角テープリッツ行列に対して、$\varphi_j \in A(\mathbb{D})$を構成し、$\varphi_j(S_d) = A_j$となることを示しており、このような族がディスク代数の関数から生じることを示している。