[論文レビュー] Dimension, Depth and Zero-Divisors of the Algebra of Basic k-Covers of a Graph

Bruno Benedetti, Alexandru Constatinescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、二部グラフ G の基本 k-被覆の代数について研究し、代数 $\bar{A}(G)$ のクルール次元を評価するための新しい組合的不変量である「グラフィカル次元」を導入する。$\bar{A}(G)$ が整域（したがってホクステルの定理によりコhen＝マカウレイでもある）であるための完全な組合的特徴付けを示し、$\bar{A}(G)$ が整域であるための必要十分条件は、任意の非孤立頂点 i に対して、{i,j} が辺であり、かつ {i,i'} と {j,j'} が辺であるとき、{i',j'} も辺であるような j が存在することである。グラフィカル次元は、木やサイクルの場合、$\bar{A}(G)$ の次元と一致する。

ABSTRACT

We study the basic $k$-covers of a bipartite graph $G$; the algebra $\AG$ they span, first studied by Herzog, is the fiber cone of the Alexander dual of the edge ideal. We characterize when $\AG$ is a domain in terms of the combinatorics of $G$; if follows from a result of Hochster that when $\AG$ is a domain, it is also Cohen-Macaulay. We then study the dimension of $\AG$ by introducing a geometric invariant of bipartite graphs, the "graphical dimension". We show that the graphical dimension of $G$ is not larger than $\dim(\AG)$, and equality holds in many cases (e.g. when $G$ is a tree, or a cycle). Finally, we discuss applications of this theory to the arithmetical rank.

研究の動機と目的

• 二部グラフ G の基本 k-被覆の代数 $\bar{A}(G)$ が整域であるかどうかを、完全に組合的条件を用いて特徴付けること。
• G の新しい不変量である「グラフィカル次元」を導入することで、$\bar{A}(G)$ のクルール次元を研究すること。
• 代数的双対の辺イデアルの算術的ランクおよびカステルヌオヴォ＝ミューマード正則性に対する $\bar{A}(G)$ を用いた境界を確立すること。
• $\bar{A}(G)$ がコhen＝マカウレイ、ゴレンシュタイン、またはヒビ環である条件を特定すること、特にアンミックスドグラフの場合に注目すること。
• $\bar{A}(G)$ の代数的不変量と、G の幾何的または組合的性質（たとえば木やサイクルであること）との関係を調査すること。

提案手法

• 二部グラフ G の基本 k-被覆を、各辺 {i,j} に対して $a_i + a_j \geq k$ を満たし、非負の成分で全がゼロでない整数ベクトルとして定義する。
• 代数 $\bar{A}(G)$ を、辺イデアルのアレクサンダー双対のファイバー代数として定義し、これは標準的 $\Sigma$-代数である。
• 頂点被覆と辺関係の構造に基づいて導出される、二部グラフの新しい組合的不変量である「グラフィカル次元」$\operatorname{gdim}(G)$ を定義する。
• ホクステルの定理を用いて、$\pi(G)$ が整域であれば、$\pi(G)$ はコhen＝マカウレイかつ正規であることを示す。
• G がアンミックスドの場合、$\pi(G)$ がヒビ環であることを証明し、関連する分配的ラティスのランクを用いてゴレンシュタインの場合の特徴付けを可能にする。
• 局所コhomologyおよびカステルヌオヴォ＝ミューマード正則性の結果を応用し、アレクサンダー双対イデアルの算術的ランクおよび正則性の境界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二部グラフ G に対して、基本 k-被覆の代数 $\pi(G)$ が整域であるための組合的条件は何か？
• RQ2 グラフィカル次元 $\operatorname{gdim}(G)$ と $\pi(G)$ のクルール次元の関係は何か？一般に等式が成り立つか？
• RQ3 辺イデアルのアレクサンダー双対の算術的ランクは何か？また、$\pi(G)$ を用いてどのように評価できるか？
• RQ4 $\pi(G)$ がコhen＝マカウレイまたはゴレンシュタインであるのはいつか？特に木、サイクル、またはアンミックスドグラフの場合に注目する。
• RQ5 エッジイデアルのカステルヌオヴォ＝ミューマード正則性は、$\operatorname{gdim}(G)$ または他のグラフ不変量を用いて評価可能か？

主な発見

• 代数 $\pi(G)$ が整域であるための必要十分条件は、任意の非孤立頂点 i に対して、{i,j} が辺であり、かつ {i,i'} と {j,j'} が辺であるとき、{i',j'} も辺であるような j が存在することである — これは「ある意味で誘導 4 サイクルを含まない二部グラフ」の概念を一般化するものである。
• 代数 $\pi(G)$ が整域であるとき、ホクステルの定理（多面体錐から生じる正規整域）により、$\pi(G)$ はコhen＝マカウレイかつ正規である。
• 木 G の場合、$\dim(\bar{A}(G)) = \lfloor n/2 \rfloor + 1$ であり、$\operatorname{gdim}(G) = \dim(\bar{A}(G))$ が成り立つ。ここで n は頂点数である。
• サイクル $C_{2a}$ の場合、$\dim(\bar{A}(G)) = a$ であり、$\operatorname{gdim}(G) = \dim(\bar{A}(G))$ が成り立つ。この場合も等式が成立する。
• G が木の場合、アレクサンダー双対のイデアルの算術的ランクは $\operatorname{ara}(I) \leq \operatorname{gdim}(G)$ を満たす。また、標準的描画におけるすべての頂点の次数が s 以上であれば、$\operatorname{ara}(I) \leq a - s + 2$ が成り立つ。
• アンミックスド G の場合、$\operatorname{ara}(I) \leq \operatorname{rank}(\mathcal{L})$ が成り立つ。ここで $\mathcal{L}$ は G に関連する分配的ラティスである。また、エッジイデアルのカステルヌオヴォ＝ミューマード正則性は、$\operatorname{gdim}(G)$ または $\operatorname{rank}(\mathcal{L})$ によって評価可能である。