[論文レビュー] Dimension free bounds for the Hardy--Littlewood maximal operator associated to convex sets

Luc Deleaval, Olivier Guédon+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 78被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、高次元空間における対称凸体に関連する Hardy--Littlewood maximal 演算子について、次元に依存しない境界を確立し、次元 n に依存しない Lp 有界性に焦点を当てる。p > 1 に対して、演算子ノルムがユークリッド球および立方体に対して一様に有界であることを証明する一方で、弱型 (1,1) 定数が次元とともに増大することを示し、エンドポイントケースにおける次元に依存しない推定の限界を解消する。

ABSTRACT

This survey is based on a series of lectures given by the authors at the working seminar "Convexit\\'e et Probabilit\\'es" at UPMC Jussieu, Paris, during the spring 2013. It is devoted to maximal inequalities associated to symmetric convex sets in high dimensional linear spaces, a topic mainly developed between 1982 and 1990 but recently renewed by further advances. The series focused on proving for these maximal functions inequalities in $L^p(\\mathbb{R}^n)$ with bounds independent of the dimension $n$, for all $p \\in (1, +\\infty]$ in the best cases. This program was initiated in 1982 by Elias Stein, who obtained the first theorem of this kind for the family of Euclidean balls in arbitrary dimension. We present several results along this line, proved by Bourgain, Carbery and M\\"uller during the period 1986--1990, and a new one due to Bourgain (2014) for the family of cubes in arbitrary dimension. We complete the cube case with negative results for the weak type $(1, 1)$ constant, due to Aldaz, Aubrun and Iakovlev--Str\\"omberg between 2009 and 2013.

研究の動機と目的

• R^n における対称凸集合に関連する Hardy--Littlewood maximal 演算子について、次元に依存しない境界を確立すること。
• このような境界がすべての p ∈ (1, ∞] に対して次元 n に依存しないかを調査すること。
• 特に立方体に対して、高次元における弱型 (1,1) 定数の挙動を解明すること。
• Stein, Bourgain, Carbery, Müller および Aldaz, Aubrun, Iakovlev--Strömberg の最近の研究を統合することで理論を完成させること。
• 弱型 (1,1) 定数の増大率を特定することで、次元に依存しない推定の鋭さを明確にすること。

提案手法

• マルティンゲール不等式と Rota の議論を用いて、最大関数を半群およびブラウン運動と関連付ける。
• Hopf の最大不等式と Burkholder--Gundy 不等式を用いて Lp 評価を実行する。
• ポisson半群とフーリエ乗数作用素技術を用いて、次元に依存しない境界を導出する。
• 補間理論、特に三行の補題と正則関数族作用素を用いる。
• スターリングの近似と二項分布尾部推定を用いて、高次元積空間における確率を制御する。
• 周囲の議論を、周波数のグリッドとチェインニング型推定を用いて構築し、弱型 (1,1) 定数を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称凸体に関連する Hardy--Littlewood 最大関数の演算子ノルムは、すべての p ∈ (1, ∞] に対して次元 n に依存せずに有界に保たれるか？
• RQ2 n → ∞ のとき、n 次元立方体に関連する最大作用素の弱型 (1,1) 定数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 すべての対称凸体に対して、弱型 (1,1) 演算子ノルムの普遍的な次元に依存しない境界が存在するか？
• RQ4 投影体積などの幾何的パrameter は、最大作用素の次元に依存しない挙動にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 立方体の場合の弱型 (1,1) 定数の鋭い増大率をどのように定量的に特定できるか？

主な発見

• ユークリッド球の族に対して、Elias Stein は1982年に、すべての p ∈ (1, ∞] に対して Lp 演算子ノルムが次元 n に依存せず一様に有界であることを示した。
• Bourgain は1986年に、すべての対称凸体に対して L2 演算子ノルムが次元に依存しないことを証明した。
• Carbery と Müller は、凸体の幾何的条件の下で、それぞれ p > 3/2 および p > 1 に対して Lp(R^n) に次元に依存しない境界を拡張した。
• Bourgain (2014) は、すべての p > 1 に対して n 次元立方体に関連する最大作用素について次元に依存しない Lp 界を確立した。
• 立方体の弱型 (1,1) 定数は、n^{1/4} に比例して少なくともその速度で増大し、大きな n に対しては約 0.0037 n^{1/4} の下界が得られる。
• 本論文は、弱型 (1,1) 定数が次元に一様に有界でないことを確認し、立方体に対して次元に依存しない弱型推定が可能でないという鋭い否定的答えを与える。