[論文レビュー] Dimension of Fractional Brownian motion with variable drift

Yuval Peres, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数 Browm運動に Borel 可測関数 $ f $ を加えたものについて、パラボリック Hausdorff 維度の新しい適応を用いて、そのグラフおよび像の Hausdorff 維度の明示的公式を確立する。主な結果として、Hölder 継続的関数 $ f $ に対しても、$ X + f $ の維度が $ X $ や $ f $ のそれぞれの維度を厳密に上回る可能性があることが示され、確率的摂動の下でも Minkowski 維度と Hausdorff 維度が一致しないことがある。

ABSTRACT

Let $X$ be a fractional Brownian motion in $\mathbb{R}^d$. For any Borel function $f:[0,1] o \mathbb{R}^d$, we express the Hausdorff dimension of the image and the graph of $X+f$ in terms of $f$. This is new even for the case of Brownian motion and continuous $f$, where it was known that this dimension is almost surely constant. The expression involves an adaptation of the parabolic dimension previously used by Taylor and Watson to characterize polarity for the heat equation. In the case when the graph of $f$ is a self-affine McMullen-Bedford carpet, we obtain an explicit formula for the dimension of the graph of $X+f$ in terms of the generating pattern. In particular, we show that it can be strictly bigger than the maximum of the Hausdorff dimension of the graph of $f$ and that of $X$. Despite the random perturbation, the Minkowski and Hausdorff dimension of the graph of $X+f$ can disagree.

研究の動機と目的

• $ X $ が分数 Browm 運動で $ f $ が Borel 関数であるとき、$ X + f $ のグラフおよび像の almost sure Hausdorff 維度を特定すること。
• 標準 Browm 運動 $ B $ に対して、$ B + f $ の Hausdorff 維度が $ \max\{\dim(\mathrm{Gr}(B)), \dim(\mathrm{Gr}(f))\} $ を厳密に上回るかどうかを解明すること。
• 自己相似グラフにおける Minkowski 維度と Hausdorff 維度の厳密な不等式が、Browm 動的摂動の下でも保持されるかを調査すること。
• McMullen-Bedford カーペットを用いて構成される自己相似関数のグラフについて、分数 Browm 運動による摂動の下で明示的な維度公式を提供すること。

提案手法

• 時間と空間のスケールがそれぞれ $ \delta $ と $ \delta^H $ である長方形上で定義される、$ H $-パラボリック $ \beta $-次元コンテンツを用いた、パラボリック Hausdorff 維度の適応を導入する。
• $ \mathrm{Gr}_A(f) $ の $ H $-パラボリック Hausdorff 維度 $ \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $ を、$ \mathrm{Gr}_A(X+f) $ および $ \mathcal{R}_A(X+f) $ の維度を表現するための主要パrameterとする。
• 公式 $ \dim(\mathrm{Gr}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, \alpha + d(1-H)\} $ および $ \dim(\mathcal{R}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, d\} $ を適用する。ここで $ \alpha = \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $ である。
• 自己相似的 McMullen-Bedford カーペットを、dyadic 長方形上の測度の再帰的構成およびエルゴード平均を用いて、そのグラフのパラボリック 維度を計算することで分析する。
• 強大数法則を用いて、指数 $ \theta = \log 2 / \log 6 $ の Hölder 継続的関数 $ f $ のパラボリック 維度を計算する。
• コーシー＝シュワルツとジェンセンの不等式を用いて、$ \mathrm{Gr}(B+f) $ の Hausdorff 維度と Minkowski 維度を比較し、行数 $ r_j $ が等しくない場合に厳密な不等式が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準 Browm 運動 $ B $ に対して、$ B + f $ のグラフの Hausdorff 維度が、$ B $ と $ f $ のそれぞれの維度の最大値を厳密に上回る可能性があるか？
• RQ2 $ f $ が行数が等しくない自己相似関数であるとき、$ \mathrm{Gr}(B+f) $ の Minkowski 維度は $ \mathrm{Gr}(f) $ のそれと等しいままか？
• RQ3 自己相似グラフに対して、関数 $ f $ のパラボリック Hausdorff 維度を明示的に計算できるか？また、その結果、$ \mathrm{Gr}(X+f) $ の維度が $ X $ もしくは $ f $ それぞれのそれよりも厳密に大きくなるか？
• RQ4 自己相似グラフ $ \mathrm{Gr}(f) $ における Minkowski 維度と Hausdorff 維度の厳密な不等式は、Browm 動的摂動の下でも保持されるか？

主な発見

• 指数 $ \theta = \log 2 / \log 6 $ の Hölder 継続的関数 $ f $ に対して、$ \mathrm{Gr}(f) $ のパラボリック Hausdorff 維度は $ \frac{1}{2} \log_2(5^{2\theta} + 1) $ に等しい。
• $ \mathrm{Gr}(B + f) $ の Hausdorff 維度は $ \frac{\log_2(5^{2\theta} + 1) + 1}{2} $ に等しく、これは $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) = \log_2(5^\theta + 1) $ および $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) = 3/2 $ の両方を厳密に上回る。
• パターン $ D $ を持つ自己相似グラフ $ \mathrm{Gr}(f) $ に対して、$ \mathrm{Gr}(X + f) $ の維度は $ 1 - H + H \log_m \left( \sum_{j=0}^{m-1} r(j)^{\log_n m / H} \right) $ に等しく、$ H < \log_n m $ を満たす。
• 行数 $ r_j $ がすべて等しくない場合、$ \mathrm{Gr}(B+f) $ の Minkowski 維度は $ \mathrm{Gr}(f) $ のそれと等しいが、Hausdorff 維度は $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) $ や $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) $ の両方を厳密に上回る。
• 確率的摂動の下でも、$ \mathrm{Gr}(B+f) $ の Minkowski 維度と Hausdorff 維度は一致しない可能性があり、Minkowski 維度が厳密に大きい場合がある。
• 像 $ \mathcal{R}_A(X+f) $ の維度は $ \min\{\alpha/H, d\} $ に等しく、ここで $ \alpha $ は $ \mathrm{Gr}_A(f) $ のパラボリック 維度である。