[論文レビュー] Dimension preserving approximation

Saurabh Verma, Peter Massopust|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、[0,1] 上の連続関数を近似する際、その導関数のフラクタル次元を保つ新しいアプローチ、次元保存近似を導入する。一般にベルンシュタイン多項式は関数の導関数のハウスドルフ次元を保存しないことが示され、リプシッツ摂動と制約付き拡張を用いた新たな手法が提案され、元の関数と同一のフラクタル次元を持つグラフを持つ近似関数の構成が可能となる。

ABSTRACT

This article introduces the novel notion of dimension preserving approximation for continuous functions defined on $[0,1]$ and initiates the study of it. Restrictions and extensions of continuous functions in regards to fractal dimensions are also investigated.

研究の動機と目的

• 連続関数の[0,1] 上における次元保存近似の概念を導入・形式化すること、特にそのグラフのフラクタル次元に注目すること。
• ベルンシュタイン多項式のような古典的近似法が、導関数のフラクタル次元を保つという点での限界を調査すること。
• 連続関数の拡張および制限を、そのグラフの指定されたフラクタル次元を保つように行うこと。
• グラフのハウスドルフ次元およびパッキング次元を所望の値に設定した連続関数の存在を確立すること。
• [0,1] のコンパクト部分集合上で定義された関数を、拡張後のグラフのフラクタル次元を制御可能な形で全区間 [0,1] に拡張する構成的手段を提供すること。

提案手法

• 関数のリプシッツ摂動を用いた次元保存近似の概念を導入し、連続関数にリプシッツ関数を加えることで、そのグラフのハウスドルフ次元およびパッキング次元が保存されることを示す。
• 補題 3.1 を適用し、$ g $ がリプシッツで $ f $ が連続であるとき、$ f + g $ のグラフの次元が $ G_g $ と同じであることを証明する。
• ハウスドルフ次元およびパッキング次元の可算安定性を用いて、可算個の区間の合併上での拡張関数の次元を分析する。
• 補題 4.5 を用いて、コンパクト部分集合上で定義された関数を、所望のグラフ次元を持つリプシッツ関数を用いて拡張することで、[0,1] 上でハウスドルフ次元 $ \beta \in [1,2] $ を持つ連続関数を構成する。
• 定理 4.6 を適用し、$ X \subset [0,1] $ が [0,1] の真のコンパクト部分集合であるとき、$ f $ を $ \tilde{f} $ に [0,1] 上に拡張し、任意の $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $ に対して $ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $ となるようにする。
• フラクタル次元の有限安定性および可算安定性を用いて、拡張後のグラフの次元を元の定義域と追加された区間からの寄与に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン多項式のような古典的近似法は、関数の導関数のフラクタル次元を保存できるか？
• RQ2 連続関数の近似が、そのグラフのフラクタル次元を保存するための条件は何か？
• RQ3 [0,1] の真のコンパクト部分集合上で定義された連続関数は、グラフのフラクタル次元を所望の値に設定できるように全区間に拡張可能か？
• RQ4 任意の $ \beta \in [1,2] $ に対して、[0,1] 上でグラフのハウスドルフ次元が正確に $ \beta $ である連続関数が存在するか？
• RQ5 関数のグラフのハウスドルフ次元およびパッキング次元は、コンパクト部分集合への制限および全区間への拡張の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• ベルンシュタイン多項式近似は導関数のフラクタル次元を保存しない：$ B_n(f) \to f $ および $ (B_n(f))' \to f' $ が一様収束するが、$ \dim G_{(B_n(f))'} = 1 $ である一方で、$ \dim G_{f'} > 1 $ である場合がある。
• 連続関数にリプシッツ関数を加えることで、グラフのハウスドルフ次元およびパッキング次元が保存される：$ \dim_H G_{f+g} = \dim_H G_g $ および $ \dim_P G_{f+g} = \dim_P G_g $。
• 任意の $ \beta \in [1,2] $ に対して、$ \dim_H G_f = \beta $ を満たす連続関数 $ f \in \mathcal{C}[0,1] $ が存在し、パッキング次元に対しても同様に成り立つ。
• コンパクトな真部分集合 $ X \subset [0,1] $ 上で定義された連続関数 $ f $ は、任意の $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $ に対して、$ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $ を満たすように $ \tilde{f} \in \mathcal{C}[0,1] $ に拡張可能である。
• パッキング次元も可算安定性のため、同様にこのような拡張で保存される。
• 任意の $ \beta \leq \dim_H G_f $ に対して、$ \dim_H G_f(K) = \beta $ を満たすコンパクト部分集合 $ K \subset [0,1] $ が存在する。これは、任意の中間フラクタル次元を持つ部分集合の存在を示している。