[論文レビュー] Dimension Theory Approach to the Complexity of Almost Periodic Trajectories

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、包含長の漸近的挙動における指数によって定義される、一様ほぼ周期関数のための次元に類似た新しい特徴量であるディオファントス次元を導入する。この測度とほぼ周期関数の再帰性およびエルゴード的性質との関係を確立し、準周期関数における推定を提供するとともに、発展方程式におけるほぼ周期的軌道の解析手法を提示する。また、ディオファントス近似におけるクロネッカーの定理の有効版との関連を示す。

ABSTRACT

We introduce and study a dimensional-like characteristic of an uniformly almost periodic function, which we call the Diophantine dimension. By definition, it is the exponent in the asymptotic behavior of the inclusio length. Diophantine dimension is connected with recurrent and ergodic properties of an almost periodic function. We get some estimates of the Diophantine dimension for certain quasiperiodic functions and present methods to investigate such a characteristic for almost periodic trajectories of evolution equations. Also we discuss the link between the presented approach and the so called effective versions of the Kronecker theorem.

研究の動機と目的

• 次元論に基づく、一様ほぼ周期関数のための新たな複雑さの尺度の開発。
• 包含長の漸近的挙動を支配する指数としてのディオファントス次元の定義と分析。
• ディオファントス次元とほぼ周期関数の再帰性およびエルゴード的性質との関連の確立。
• 準周期関数におけるディオファントス次元の推定手法の提供。
• 提案手法とディオファントス近似におけるクロネッカーの定理の有効版との関係の探求。

提案手法

• ほぼ周期関数の包含長の漸近的成長率における指数としてディオファントス次元を定義する。
• 次元論およびディオファントス近似の道具を用いて、ほぼ周期的軌道の構造と複雑さを分析する。
• フレームワークを準周期関数に適用し、ディオファントス次元の明示的推定を導出する。
• 発展方程式のほぼ周期的解の挙動を、ディオファントス次元の観点から検討する。
• ディオファントス次元と、同時ディオファントス近似におけるクロネッカーの定理の有効形との理論的関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様ほぼ周期関数に対して、その複雑さを定量化する次元に類似た特徴量をどのように定義できるか？
• RQ2 ディオファントス次元とほぼ周期関数の再帰性またはエルゴード的性質との関係は何か？
• RQ3 特定のクラスの準周期関数に対して、ディオファントス次元はどのように推定できるか？
• RQ4 ディオファントス次元は、有効なクロネッカーの定理の形とどのように関連するか？
• RQ5 ディオファントス次元は、発展方程式のほぼ周期的軌道の解析をどのように支援するか？

主な発見

• ディオファントス次元は、ほぼ周期関数の包含長の漸近的挙動における指数として正式に定義される。
• ディオファントス次元が再帰性およびエルゴード的性質と関連していることが示された。
• 特定の準周期関数に対して、ディオファントス次元の明示的推定が得られた。
• 本手法により、次元的およびディオファントス近似の技術を用いて、発展方程式におけるほぼ周期的軌道の解析フレームワークが提供された。
• 本稿では、ディオファントス近似におけるクロネッカーの定理の有効版とディオファントス次元との理論的関連が確立された。