[論文レビュー] Dimensional characteristics of invariant measures for circle diffeomorphisms

Victoria Sadovskaya|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Liouville回転数をもつ$C^{\infty}$円微分同相写像を構成し、その唯一の不変測度が非常に不規則な次元的挙動を示すことを示す。その点での局所次元およびボックス次元はほとんど everywhere で存在せず、下位点付き次元および下位ボックス次元は任意の指定値$\beta \in [0,1]$に等しくなる。この構成は、Anosov-Katok法の洗練された版を用い、明示的な定量的推定を伴って、測度の局所的スケーリング性質を正確に制御する。

ABSTRACT

We consider pointwise, box, and Hausdorff dimensions of invariant measures for circle diffeomorphisms. We discuss the cases of rational, Diophantine, and Liouville rotation numbers. Our main result is that for any Liouville number $τ$ there exists a $C^\infty$ circle diffeomorphism with rotation number $τ$ such that the pointwise and box dimensions of its unique invariant measure do not exist. Moreover, the lower pointwise and lower box dimensions can equal any value $0\le β\le 1$.

研究の動機と目的

• 円微分同相写像の無理数回転数をもつ不変測度の次元的特性（点付き次元、ボックス次元、ハウスドルフ次元）を調査すること。
• 有理数で急速に近似可能なLiouville回転数の場合、非一様な力学的挙動を生じることで知られる、これらの次元の挙動を解明すること。
• 与えられたLiouville回転数をもつ、明示的な$C^\infty$微分同相写像を構成し、不変測度の点付き次元およびボックス次元がほとんど everywhere で存在しないようにすること。
• 不変測度の下位点付き次元および下位ボックス次元が、任意の値$\beta \in [0,1]$に等しくなるようにできることを示すこと。

提案手法

• 指定された回転数をもつ$C^\infty$微分同相写像を構成するために、Anosov-Katok法の洗練された版が用いられる。
• 反復的に$C^\infty$微分同相写像$h_n$の列が構成され、それぞれが最終的な写像$h$を近似するが、歪みとスケーリングが制御される。
• 不変測度$\mu$は、$h_n$によるLebesgue測度の押し出しの弱収束極限として定義され、エルゴディシティおよび一意性が保証される。
• 区間のスケーリングおよび共役写像$h$のモジュラス連続性に関する定量的推定を用いて、点付き次元を制御する。
• 帰納法により$h$のホルダー連続性（指数$\beta$）を証明し、$\underline{d}_\mu(x) \geq \beta$ almost everywhere を保証する。
• 急速に縮小する区間$E_n$を用いた測度の小さな球への減少を制御することで、$\overline{d}_\mu(x) = 1$ almost everywhere を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^\infty$円微分同相写像の不変測度の点付き次元が、一意的エルゴディック性がある場合でも、ほとんど everywhere で存在しないことはあり得るか？
• RQ2 Liouville回転数に対して、不変測度の下位点付き次元を任意の指定値$\beta \in [0,1]$に等しくできるか？
• RQ3 与えられたLiouville回転数をもつ$C^\infty$円微分同相写像を構成し、不変測度の下位ボックス次元と上位ボックス次元が異なるようにすることは可能か？
• RQ4 回転数のディオファントス的またはLiouville的性質と、不変測度の点付き次元の存在・非存在との関係は何か？
• RQ5 Liouvilleの場合に、不変測度のハウスドルフ次元とボックス次元を不等しくできるか？

主な発見

• 任意のLiouville数$\tau$と任意の$\beta \in [0,1]$に対して、回転数$\tau$をもつ$C^\infty$円微分同相写像が存在し、$\mu$-almost every $x \in S^1$ に対して下位点付き次元$\underline{d}_\mu(x) = \beta$ かつ上位点付き次元$\overline{d}_\mu(x) = 1$ となる。
• 不変測度$\mu$に対して、下位ボックス次元$\underline{\dim}_B \mu = \beta$ かつ上位ボックス次元$\overline{\dim}_B \mu = 1$ である。
• ハウスドルフ次元$\dim_H \mu = \beta$ であり、これは下位ボックス次元と一致する。
• 点付き次元がほとんど everywhere で存在しないのは、$\mu$-a.e. $x$ に対して$\underline{d}_\mu(x) = \beta < 1 = \overline{d}_\mu(x)$ であるためである。
• 構成により、下位点付き次元および下位ボックス次元の任意の値$\beta \in [0,1]$が明示的に実現可能であり、非一様な次元的挙動の全範囲が示された。
• 不変測度はLebesgue測度に対して特異的であり、次元が1未満であるため、Lebesgue測度と同値ではない。