[論文レビュー] Dimensionally Democratic Calculus and Principles of Polydimensional Physics

William M. Pezzaglia|ArXiv.org|Dec 8, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、クライフォード代数に基づく次元的に民主的な微積分を提案する。幾何的要素（ベクトル、二階テンソルなど）はそれぞれ独立した座標を持つため、幾何的ランクを再編する多次元変換に対して不変性を示す。多様な次元にわたる等方的作用原理と、スピン粒子の一般化された運動方程式を導出する。曲がった空間における Papapetrou 方程式の共変的導出を含み、古典力学、超弦理論、ハイパーグラビティを1つのクライフォード多様体フレームワークで統一する。

ABSTRACT

A solution to the 50 year old problem of a spinning particle in curved space has been recently derived using an extension of Clifford calculus in which each geometric element has its own coordinate. This leads us to propose that all the laws of physics should obey new polydimensional metaprinciples, for which Clifford algebra is the natural language of expression, just as tensors were for general relativity. Specifically, phenomena and physical laws should be invariant under local automorphism transformations which reshuffle the physical geometry. This leads to a new generalized unified basis for classical mechanics, which includes string theory, membrane theory and the hypergravity formulation of Crawford[J. Math. Phys., {\bf 35}, 2701-2718 (1994)]. Most important is that the broad themes presented can be exploited by nearly everyone in the field as a framework to generalize both the Clifford calculus and multivector physics.

研究の動機と目的

• スピン粒子を曲がった時空で記述する長年の問題に、すべての多スカラー階層を対称的に扱う幾何的枠組みを提供すること。
• 局所自己同型変換（例えば、ベクトルを二階テンソルに再編する）に対して物理法則が不変であるべきだと提唱し、相対的次元主義の新しい原理を導くこと。
• 線形経路長とスピンが掃いた面積の両方を最小化する一般化された作用原理を開発し、標準的なテンソル形式を超えた古典力学を拡張すること。
• クライフォード微積分を用いて、古典力学、超弦理論、膜理論、ハイパーグラビティを1つの多様な幾何的枠組みで統一すること。
• Papapetrou 方程式を、曲がった空間におけるクライフォード多様体上の自己平行移動として一般化し、曲率、ねじれ、スピン効果を含むこと。

提案手法

• 各幾何的要素（スカラー、ベクトル、二階テンソルなど）が独自の座標を持つクライフォード多様体を導入し、次元的に民主的な変換を可能にする。
• 線形移動距離とスピンが掃いた二階テンソル面積の和を最小化する新しい作用原理を提唱し、速度とスピン速度を含む交差項を有する一般化されたラグランジアンを導出する。
• 多スカラー場の一般化された共変微分を導出し、曲がった空間における Papapetrou 方程式の多様な共変一般化を含む。
• 次元間成分（例：$h_{\alpha\mu\nu}$）を有する一般化された計量構造と相対論的慣性モーメントテンソル $\mathcal{I}_{\alpha\beta\mu\nu}$ を用い、線形運動量とスピン運動量を非平行に結合する。
• 標準的な運動量とスピン演算子を、ゲージ共変微分と交換子に基づく微分に置き換えることで、ディラック方程式を変形し、異常磁気モーメントの相互作用を含める。
• 一般化されたディラック方程式にエーレンフェストの定理を適用し、古典的運動方程式を導出し、一般化された Papapetrou 方程式を回復することを目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルと二階テンソル量が幾何的に同等に扱われる枠組みにおいて、曲がった時空内のスピン粒子の運動を一貫して記述する方法は何か？
• RQ2 線形経路長とスピンが掃いた面積の両方を幾何的に統一された枠組みで最小化するとき、どのような新しい作用原理が導かれるか？
• RQ3 Papapetrou 方程式は、多様な次元不変性を持つクライフォード多様体上の自己平行移動として導出可能か？
• RQ4 次元間計量と一般化された慣性モーメントテンソルを含めると、線形運動量と速度の関係にどのような影響が生じるか？
• RQ5 交換子微分を用いた一般化されたディラック方程式は、エーレンフェストの定理によって古典的運動方程式を再現可能か？

主な発見

• 線形距離とスピンが掃いた二階テンソル面積の和を最小化する新しい作用原理が構築され、粒子運動の幾何的統一的記述が可能になった。
• 一般化された Papapetrou 方程式は、クライフォード多様体上の自己平行方程式として導出され、多様な共変接続を介して曲率、ねじれ、スピン効果を統合した。
• ラグランジアン (58) は、次元間計量 $h_{\alpha\mu\nu}$ と慣性モーメントテンソル $\mathcal{I}_{\alpha\beta\mu\nu}$ を介し、速度とスピン速度の間の交差項を含み、線形運動量と速度の整合性を破った。
• 運動量とスピン演算子がゲージ共変微分と交換子に基づく微分に置き換えられた一般化されたディラック方程式 (60) が提唱され、異常磁気モーメントの相互作用が導入された。
• 一般化されたディラック方程式における定数 $\lambda$ が、異常磁気モーメントの幾何的解釈を提供する可能性があると提言された。
• この枠組みにより、古典力学、超弦理論、膜理論、ハイパーグラビティが1つのクライフォード代数的構造内で統一的に取り扱えるようになった。