[論文レビュー] Dimensions and spectral triples for fractals in R^N

Daniele Guido, Tommaso Isola|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ℝ^N 内の極限フラクタルに対して2つのスペクトル三重を導入し、それらの非可換ハウスドルフ次元および接線的次元が、古典的対応物と一致することを示している。翻訳フラクタルの場合、特異トレースから得られる非可換測度は、極限測度と一致し、一般化された極限手続きに依存しない。また、非可換距離は、ユークリッド距離と双リプシッツ同値である。

ABSTRACT

Two spectral triples are introduced for a class of fractals in R^n. The definitions of noncommutative Hausdorff dimension and noncommutative tangential dimensions, as well as the corresponding Hausdorff and Hausdorff-Besicovitch functionals considered in math.OA/0202108, are studied for the mentioned fractals endowed with these spectral triples, showing in many cases their correspondence with classical objects. In particular, for any limit fractal, the Hausdorff-Besicovitch functionals do not depend on the generalized limit procedure.

研究の動機と目的

• スペクトル三重を用いて、ℝ^N 内のフラクタルへの非可換幾何学の拡張を図ること。
• 極限フラクタルにおける非可換ハウスドルフ次元および接線的次元の定義と計算を行うこと。
• 特異トレースから得られる非可換測度が、古典的極限測度と一致するかどうかを調査すること。
• スペクトル三重によって誘導される非可換距離が、フラクタル上のユークリッド距離および測地線距離とどのように比較できるかを検討すること。
• 非可換距離がユークリッド距離と位相的に同値となる条件を確立すること。

提案手法

• 有限個の先祖ペアのすべての子孫に基づくスペクトル三重と、生成相似変換を介した親子ペアに基づくスペクトル三重を構築する。
• ディラック作用素の逆モジュラスを用いて特異トレーサビリティ指数を定義し、これにより特異トレース τω を得る。
• リースの表現定理を適用して、これらのトレースから測度を導出し、非可換汎関数と結びつける。
• 極限フラクタルを、収縮写像の列によって生成されるコンパクト集合のハウスドルフ極限として定義する。
• 一般化された極限手続き ω を用いて極限測度 μα を導入し、翻訳フラクタルにおいてそれが ω に対して不変であることを示す。
• 非可換距離 d が、測地線距離とユークリッド距離が双リプシッツである場合、スペクトル三重によって誘導される非可換距離 d がユークリッド距離と双リプシッツ同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル三重を用いて定義された非可換ハウスドルフ次元および接線的次元は、ℝ^N 内の極限フラクタルについて、古典的フラクタル次元と一致するか？
• RQ2 翻訳フラクタルの場合、特異トレース τω から得られる非可換測度は、古典的極限測度 μα と一致するか？
• RQ3 スペクトル三重によって誘導される非可換距離は、位相的にユークリッド距離と同値か？
• RQ4 非可換距離がフラクタル上の測地線距離と双リプシッツ同値となる条件は何か？
• RQ5 非可換測度が一般化された極限 ω に依存しないことは、翻訳フラクタルを超えて成り立つか？

主な発見

• 翻訳フラクタルの場合、非可換ハウスドルフ次元および接線的次元は、[9,10] で計算された古典的対応物と一致する。
• 特異トレース τω から生じる非可換測度は、一般化された極限 ω に依存せず、翻訳フラクタルでは古典的極限測度 μα と一致する。
• 親子スペクトル三重において、任意のトレーサビリティ指数 α に対応する測度は、任意の極限フラクタルにおける極限測度 μα と一致する。
• 非可換距離 d は、常にフラクタル上のユークリッド距離と位相的に同値である。
• 測地線距離を備えたフラクタルから非可換距離を備えたフラクタルへの恒等写像はリプシッツである。これは、測地線距離とユークリッド距離が双リプシッツである場合、双リプシッツ同値であることを示唆する。
• シエルピンスキーのギャスケット、カーペット、ビクゼック集合、リンズトロムのスノーフレークの場合は、測地線距離とユークリッド距離が双リプシッツであるため、非可換距離も両者と双リプシッツ同値である。