[論文レビュー] Dimensions of random covering sets in Riemann manifolds

De‐Jun Feng, Esa Järvenpää+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非特異測度を持つ多様体上での独立な変数によるランダムな位置決めによって生成される、d次元リーマン多様体内のランダム被覆集合のほとんど確実なハウスドルフ次元についての公式を確立する。生成集合に密度条件と位置の非特異分布がある場合、被覆集合のパッキング次元はほとんど確実にdであることを証明する。

ABSTRACT

Let ${\pmb M}$, ${\pmb N}$ and ${\pmb K}$ be $d$-dimensional Riemann manifolds. Assume that ${\bf A}:=(A_n)_{n\in{\Bbb N}}$ is a sequence of Lebesgue measurable subsets of ${\pmb M}$ satisfying a necessary density condition and ${\bf x}:=(x_n)_{n\in {\Bbb N}}$ is a sequence of independent random variables which are distributed on ${\pmb K}$ according to a measure which is not purely singular with respect to the Riemann volume. We give a formula for the almost sure value of the Hausdorff dimension of random covering sets ${\bf E}({\bf x},{\bf A}):=\limsup_{n o\infty}A_n(x_n)\subset {\pmb N}$. Here $A_n(x_n)$ is a diffeomorphic image of $A_n$ depending on $x_n$. We also verify that the packing dimensions of ${\bf E}({\bf x},{\bf A})$ equal $d$ almost surely.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上にランダムに配置された可測集合の像からなるランダム被覆集合のほとんど確実なハウスドルフ次元の値を特定すること。
• このようなランダム集合のパッキング次元がほとんど確実に多様体次元dに等しくなるための条件を確立すること。
• トーラス設定における結果を一般のリーマン多様体へ拡張し、これまでのlimsup集合およびランダム被覆に関する研究を一般化すること。
• 生成集合の測度を含む級数を用いて、ゲージ関数の観点からハウスドルフ次元の公式を導出すること。
• 一般のルベーグ可測生成集合に対する次元レベル集合の可測性を検討すること。

提案手法

• limsup構成を用いる：E(x,A) = limsup_{n→∞} A_n(x_n)，ここでA_n(x_n)はランダム点x_nに依存するA_nの微分同相写像像である。
• ほとんど確実な性質を解析するために、ボレル＝カンテリの補題およびフィッビの定理を適用する。
• ゲージ関数hを導入し、A_nの測度に関連する量G_h(A_n)を定義し、次元の挙動を制御する。
• 修正されたハウスドルフ測度H^hおよび無限大ハウスドルフ内容H_∞^hを用い、級数の収束を介して次元を分析する。
• 倍加ゲージ関数および線形補間を用いて、必要な正則性条件を満たす同値ゲージ関数を構成する。
• ジオメトリック測度論の結果（特にデラシェリおよびマティラ＝モルドゥインの結果）を応用し、次元レベル集合の可測性を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上にランダムに配置された可測集合の像からなるランダム被覆集合のほとんど確実なハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 このようなランダム被覆集合のパッキング次元がほとんど確実に多様体次元dに等しくなる条件は何か？
• RQ3 級数∑G_h(A_n)の収束または発散は、ランダム被覆集合の正のH^h測度とどのように関係するか？
• RQ4 ランダム被覆集合の次元はほとんど確実に定数であり、そのレベル集合はいつ可測か？
• RQ5 次元公式において、条件∑G_h(A_n) = ∞を∑H_∞^h(A_n) = ∞に置き換えられるか？また、不等式H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)は成り立つか？

主な発見

• ランダム被覆集合E(x,A)のほとんど確実なハウスドルフ次元は、h(r) = r^sとおくとき、級数∑G_h(A_n)が発散する臨界指数sである。
• E(x,A)のパッキング次元は、環境となるリーマン多様体の次元dにほとんど確実に等しい。
• ゲージ関数hに対して∑G_h(A_n) = ∞ならば、H^h(E(x,A)) > 0であることがほとんど確実に成り立ち、より遅いゲージh'に対しても級数が発散するならば、H^h(E(x,A)) = ∞であることがほとんど確実に成り立つ。
• r ↦ h(r)r^{−d+ε}が単調減少であるという条件は、証明における測度項の推定に必要な正則性を保証する。
• 一般には不等式H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)は成り立たない。これはH_∞^hとG_hの漸近的挙動の違いのためである。
• A_nが解析的集合であれば、レベル集合F_s = {x : dim E(x,A) = s}は解析的集合が生成するσ集合環に関して可測であるが、一般のルベーグ可測A_nに対してはその可測性は未解決のままである。