[論文レビュー] Dimer lambda_d Expansion Computer Computations

Paul Federbush|ArXiv.org|Apr 26, 2008

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1/dのべき級数としてのデイマー λ_d 展開を高精度なコンピュータ計算により、1/d^3 項まで拡張する。Mapleを用いた記号計算により、d=1,2,3 における正規化係数 $ar{J}_i$ を計算し、先行する手計算結果を確認するとともに、新たな 1/d^3 項を導出する。また、d=2 および d=3 における λ_d の2つの近似列の数値的検討を行い、明確な収束性は認められない。

ABSTRACT

In a previous paper an asymptotic expansion for lambda_d in powers of 1/d was developed. The results of computer computations for some terms in the expansion, as well as various quantities associated to the expansion, are herein presented. The computations (in integer arithmetic) are actually done only for d=1, d=2, and d=3, but some results for arbitrary dimension follow from the general structure of the theory. In particular we obtain the next term in powers of 1/d, the 1/d^3 term in the asymptotic expansion for lambda_d, as well as checking the correctness of the terms previously calculated by hand. For d=2 and d=3 a second expansion for lambda_d is defined and numerically studied. Contrary to our hopes this second type of expansion appears not to be convergent. There is not enough evidence to argue if the expansions for lambda_d in powers of 1/d are convergent for either d=2 or d=3, but likely they are not. (Certainly convergence, but at a very slow rate, remains an interesting possibility in all our cases.)

研究の動機と目的

• 1/d のべき級数としての λ_d の漸近展開における高次の項を、コンピュータ代数を用いて計算すること。
• d=1,2,3 における λ_d 展開の先行手計算による $ar{J}_i$ 係数を検証し、拡張すること。
• d=2 および d=3 における λ_d の2つの異なる近似列の収束性を調査すること。
• $ar{J}_i$ を i=6 まで効率的に計算するための4段階の計算パイプラインを開発・実装すること。

提案手法

• Mapleを用いた記号計算により、i=1 から 6 および d=1,2,3 に対して $ar{J}_i = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{i!} \cdot J_i$ を計算する。
• 計算は4段階に分かれる：s-デイマー木の重なりパターンの生成（ステップ1）、連結タイル和の計算（ステップ2）、タイル重なりからの $J_s$ の評価（ステップ3）、主要式への代入による近似値の得られ（ステップ4）。
• s-デイマー木は、各初期部分列が連結のままであるように配置された s 個のタイルの順序付き列として定義され、効率的なアルゴリズム的列挙を可能にする。
• 計算は整数演算に依存し、浮動小数点演算を避けることで、$ar{J}_i$ の記号的評価における正確性を確保する。
• 2つの近似列 $A_r$ と $B_r$ を構築する：$A_r$ は直接的な 1/d^i 項に基づき、$B_r$ は生成関数をモデル化するための形式的パラメータ $x$ を用いる。
• d=2 および d=3 における $ar{J}_6$ の計算には数週間のCPU時間が必要であり、$ar{J}_7$ は現在の手法では実行不可能と推定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ_d の漸近展開における次の項、具体的には 1/d^3 係数は何か？
• RQ2 先行して手計算された λ_d の $ar{J}_i$ 係数は正確か？ また、コンピュータ代数による検証は可能か？
• RQ3 d=2 および d=3 における λ_d の2つの近似列 $A_r$ と $B_r$ は収束するか？
• RQ4 d=1,2,3 における計算値から、任意の次元 d における $ar{J}_i$ の一般形を導出可能か？
• RQ5 d=2 および d=3 における $ar{J}_i$ の計算を i=6 を超えて拡張する際の計算複雑度は何か？

主な発見

• λ_d の漸近展開は、1/d^3 項まで拡張された：$\lambda_d \sim \frac{1}{2}\ln(2d) - \frac{1}{2} + \frac{1}{8d} + \frac{5}{96d^2} + \frac{5}{64d^3} + \cdots$
• d=1,2,3 における $ar{J}_i$ 係数は正確に計算された：$\bar{J}_1 = 0$、$\bar{J}_2 = \frac{1}{8d}$、$\bar{J}_3 = \frac{1}{12d^2}$、$\bar{J}_4 = -\frac{3}{32d^2} + \frac{3}{64d^3}$、$\bar{J}_5 = -\frac{1}{8d^3} - \frac{3}{80d^4}$、$\bar{J}_6 = \frac{7}{48d^3} - \frac{5}{64d^4} - \frac{1}{6d^5}$。
• d=2 において、$A_r$ 列は $A_3 = 0.2784$ を与え、既知の正確値 $\lambda_2 \approx 0.29156$ に近づくが、$B_r$ 列は $B_2 = 0.2921$ でピークに達し、その後低下する。
• d=3 において、$A_r$ 列は $A_3 = 0.4462$ を与え、既知の境界 $0.440075 \leq \lambda_3 \leq 0.457547$ の範囲内に収まるが、$B_r$ 列は $B_2 = 0.4538$ でピークに達し、その後低下する。
• d=2 および d=3 における $B_r$ 列は収束せず、振動を示し、最終的に低下するため、この形式的展開の非収束性が示唆される。
• d=2 および d=3 における $ar{J}_6$ の計算には数週間のCPU時間が要され、$ar{J}_7$ の計算には約1年間の計算時間と、顕著な新たな理論的洞察が必要であると示唆される。