[論文レビュー] Diophantine approximation in small degree

Damien Roy|ArXiv.org|Mar 12, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、代数的整数および低次の多項式を用いた実数の最適なディオファントス近似指数を調査する。DavenportとSchmidtの数の幾何学的手法を精緻化することで、3次以下の代数的整数による実数 $\xi$ の近似において指数 $\gamma + 1 \approx 2.618$ が最良であることを示し、また単位多項式 $P$ の値 $|P\left(\xi\right)| \ll H\left(P\right)^{-\gamma}$ における指数 $\gamma \approx 1.618$ が最適であることを証明する。極値数は再帰的構成によりこれらの上限に達する。

ABSTRACT

We discuss the problem of finding optimal exponents in Diophantine estimates involving one real number and, in some cases where such an exponent is known, present some properties of the corresponding extremal numbers.

研究の動機と目的

• 3次以下の代数的整数による実数 $\xi$ のディオファントス近似における最適指数を特定すること。
• 3次の場合の既知の $ (n+3)/2 $ 界を改善し、$|\xi - \alpha| \ll H\left(\alpha\right)^{-(\gamma+1)}$ における指数 $\gamma + 1 \approx 2.618$ が最良であることを証明すること。
• 単位整数係数多項式 $P$ の3次以下において、$|P\left(\xi\right)| \ll H\left(P\right)^{-\gamma}$ の推定における指数 $\gamma \approx 1.618$ が鋭いかを確立すること。
• 近似指数が最適であるような実数 $\xi$ を特徴づけ、近似三重項に基づく再帰関係を用いてそのような数を構成すること。

提案手法

• 実数 $\xi$ と $\xi^2$ の同時近似を分母が共通の有理数を用いて分析するため、DavenportとSchmidtの数の幾何学的手法を応用する。
• 極値実数を特徴づける近似三重項 $\mathbf{y}_k = (y_{k,0}, y_{k,1}, y_{k,2})$ の再帰的関係を導入する。
• 近似三重項間の代数的依存関係を検出するために重み付き多変数多項式空間 $E(\mathbf{d}, p)$ を導入する。
• 多項式の偏微分が $\mathbf{1} = (1,1,1)$ で消えるという基準を用い、特定の多項式が列 $\mathbf{y}_k$ 沿って恒等的に消えることを証明し、再帰的関係を導出する。
• $E(\mathbf{d}, p)$ 内でのコンピュータ支援探索により、再帰的関係を導く非自明な多項式（例：$[\mathbf{u}_3, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4]$ を含む行列式）を同定する。
• $\|\mathbf{y}_k\|$ の成長率から $L_\xi(\mathbf{y}_k) \ll \|\mathbf{y}_k\|^{-1/\gamma}$ が得られ、$\xi$ が極値的であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次以下の代数的整数 $\alpha$ に対する近似 $|\xi - \alpha| \ll H\left(\alpha\right)^{-(\gamma+1)}$ における指数 $\gamma + 1 \approx 2.618$ は最適か？
• RQ2 3次以下の単位整数係数多項式 $P$ に対する推定 $|P\left(\xi\right)| \ll H\left(P\right)^{-\gamma}$ における指数 $\gamma \approx 1.618$ は改善可能か？
• RQ3 代数的整数および多項式設定の両方において近似指数が最適となるような実数 $\xi$ はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 すべての極値実数は、近似三重項 $\mathbf{y}_k$ から導かれる同一の再帰的構造を満たすか？
• RQ5 重み付き多項式空間 $E(\mathbf{d}, p)$ の手法を用いて、近似列の再帰的関係を体系的に導出可能か？

主な発見

• 3次以下の代数的整数による $\xi$ の近似において、指数 $\gamma + 1 \approx 2.618$ が最適であることが示され、この上限に達する非可算無限個の極値数が構成された。
• 3次以下の単位整数係数多項式 $P$ に対する推定 $|P\left(\xi\right)| \ll H\left(P\right)^{-\gamma}$ における指数 $\gamma \approx 1.618$ は最良であり、無限に多くの $P$ で等号が成立する。
• 極値実数は、ある多変数多項式空間 $E(\mathbf{d}, p)$ 内の特定の多項式の消失から導かれる再帰的関係を満たす近似三重項 $\mathbf{y}_k$ の存在によって特徴づけられる。
• 近似三重項 $\mathbf{y}_k$ の再帰的構造は本質的に一意的であり、これにより以前の結果を一般化する極値数の構成が可能になる。
• 多項式 $E(\mathbf{d}, p)$ 内の高階偏微分の消失に基づく基準により、$\mathbf{y}_k$ 間の代数的関係が十分大きな $k$ に対して恒成立することが保証され、再帰的関係の導出が可能になる。
• $\xi$ が極値的であるための条件 $L_\xi(\mathbf{y}_k) \ll \|\mathbf{y}_k\|^{-1/\gamma}$ が満たされ、構成された列によってこの条件が成立することが確認され、極値性が証明された。