[論文レビュー] Diophantine approximation on the parabola with non-monotonic approximation functions

Jing-Jing Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

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ひとこと要約

本稿は、有理数による近似関数が単調でない場合において、標準放物線が収束に関して強いキンチン型であることを確立している。具体的には、非単調な近似関数のもとで、有理数によってよく近似可能な点の集合がゼロ Hausdorff 測度を持つことを証明している。主な革新は、バーガスの指標和の評価を用いて放物線の近傍に存在する有理点の数を数える新しい推定式を導出し、古典的なキンチン型定理における単調性仮定を不要にしたことにある。

ABSTRACT

We show that the parabola is of strong Khintchine type for convergence, which is the first result of its kind for curves. Moreover, Jarnik type theorems are established in both the simultaneous and the dual settings, without monotonicity on the approximation function. To achieve the above, we prove a new counting result for the number of rational points with fixed denominators lying close to the parabola, which uses Burgess's bound on short character sums.

研究の動機と目的

• 非退化な平面曲線、特に標準放物線が収束に関して強いキンチン型であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 近似関数の単調性を仮定しない条件下で、放物線上における同時近似および双対近似に関するヤルニク型定理を確立すること。
• 分母が固定された有理点が放物線に近接する場合の非平均化された数え上げ推定式を構築すること。これは単調性制約を取り除くために不可欠である。
• 技術的障壁たる非平均化有理点数え上げを克服することで、測度的Diophantine近似理論の適用範囲を曲線へ拡張すること。

提案手法

• バーガスの短い指標和に関する評価を用いて、$ A(q,\theta) $ と表される数え上げ関数の新しい上界を導出する。ここで $ A(q,\theta) $ は $ \big\| \frac{a^2}{q} \big\| < \theta $ を満たす有理点 $ a/q $ の個数を数える。
• $ q $ をその最大の平方因子 $ r $ に対して分解する。ここで $ r^2 \mid q $ である。これは $ q $ が大きな平方因子を持つ例外的な場合を扱うために用いられる。
• Hausdorff-Cantelli補題を適用し、$ \textstyle\sum_{q=1}^\infty \theta(q)^{s+1} q^{1-s} < \infty $ ならば、放物線上のよく近似可能な点の $ s $ 次元 Hausdorff 測度がゼロであることを示す。
• 双対近似に適応するため、$ \big\| \frac{\theta a^2}{q} \big\| < \theta $ を満たす有理点に対する重み付き和を導入し、dyadic 和を用いて指数和を制御する。
• ホルダーの不等式を用いて $ r^{1+\varepsilon} $ 項の寄与を制御し、$ \textstyle\sum_{r} r^{(1+\varepsilon)(s+1)-4s} $ の収束性に依存する。$ s > 11/13 $ の範囲で成立する。
• 主要な級数の収束はバーガスの評価に強く依存しており、$ s $ の範囲を $ 11/13 $ を超えて拡張するには、この古典的評価を打ち破る必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似関数が単調でない場合において、標準放物線 $ \{(x,x^2) : x \in [0,1]\} $ は収束に関して強いキンチン型であるか？
• RQ2 近似関数の単調性を仮定しない条件下で、放物線上におけるHausdorff測度に関するヤルニク型定理を確立できるか？
• RQ3 双対近似理論についても、特にHausdorff測度の観点から、単調性を仮定しない場合に成り立つか？
• RQ4 ヤルニク型定理における $ s $ の範囲を $ s > 11/13 $ を超えて改善できるか？そのために何が必要か？
• RQ5 強いキンチン型でない非退化な平面曲線は存在するか？それらを特徴づける構造的性質は何か？

主な発見

• 標準放物線が収束に関して強いキンチン型であることが証明された。これは、近似関数 $ \psi $ が単調でない場合でさえ、有理数によってよく近似可能な点の集合がゼロLebesgue測度を持つことを意味する。
• $ s \in (11/13, 1] $ の範囲で、$ \textstyle\sum_{q=1}^\infty \psi(q)^{s+1} q^{1-s} < \infty $ ならば、$ \mathscr{S}_2(\psi) \cap \mathcal{P} $ の $ s $ 次元 Hausdorff 測度はゼロである。これは非単調なヤルニク型定理を確立する。
• 有理点 $ a/q $ で $ \big\| \frac{a^2}{q} \big\| < \delta $ を満たすものの個数を数える数え上げ関数 $ A(q,\delta) $ は、$ r $ を $ r^2 \mid q $ を満たす最大の整数として、$ A(q,\delta) \ll \delta q + r^{1+\varepsilon} + \delta^{1/2} q^{11/16 + \varepsilon} $ を満たす。
• 双対近似の結果も単調性なしに成立する：$ s \in (0,1] $ で $ \textstyle\sum_{q=1}^\infty \psi(q)^s q^{2-s} < \infty $ ならば、$ \mathcal{H}^s(\mathscr{A}_2(\psi) \cap \mathcal{P}) = 0 $ である。
• Hausdorff-Cantelliの議論における主要級の収束はバーガスの評価に強く依存しており、$ s $ の範囲を $ 11/13 $ を超えて拡張するには、この評価を打ち破る必要がある。これは現在のところ到達不可能である。
• 本稿では、指標和に関する予想的評価のもとで、収束推定における第三の級数が $ s \in (1/2,1] $ で収束することを示しているが、第二の級数は $ s \leq 2/3 $ で発散するため、現在の有効範囲は制限されている。