[論文レビュー] Diophantine Approximations on Definable Sets

Philipp Habegger|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多項式的有界な o-最小構造における定義可能集合を非常に小さな誤差で近似する有理点および代数的点の数に一様な上限を確立する。o-最小性、Łojasiewiczの不等式、補助関数の道具を用いて、このような近似が集合の代数的局所に集中することを証明し、T^ε の境界を得る。これは、定義可能集合上に存在する有理点に関する Pila-Wilkie の数え上げ定理を補完するものである。

ABSTRACT

Consider the vanishing locus of a real analytic function on $\mathbb{R}^n$ restricted to $[0,1]^n$. We bound the number of rational points of bounded height that approximate this set very well. Our result is formulated and proved in the context of o-minimal structure which give a general framework to work with sets mentioned above. It complements the theorem of Pila-Wilkie that yields a bound of the same quality for the number of rational points of bounded height that lie on a definable set. We focus our attention on polynomially bounded o-minimal structures, allow algebraic points of bounded degree, and provide an estimate that is uniform over some families of definable sets. We apply these results to study fixed length sums of roots of unity that are small in modulus.

研究の動機と目的

• 定義可能集合上に存在するのではなく、それらを近似する有理点および代数的点への Pila-Wilkie の数え上げ定理の拡張。
• 多項式的有界な o-最小構造において、有界な次数および高さを持つ代数的点が非常に小さな誤差で定義可能集合を近似する数に対する一様な境界の確立。
• 有界な次数および高さを持つ代数的点が定義可能集合を非常に小さな誤差で近似する際の、一様かつ有効な推定を保証するため、多項式的有界な o-最小構造内で作業する。
• Diophantine 問題への応用、特に有理角を持つ単位根の和の大きさを有界にする問題への応用。
• このような近似が、集合の代数的局所の周辺に集中することを示し、集合上に存在する点に対する Pila-Wilkie の現象を模倣する。

提案手法

• o-最小構造における定義可能集合の ε-近傍を用いて、近似の概念を形式化する。
• 実解析関数の零点集合からの距離を制御するため、Łojasiewicz 型の不等式を適用する。
• o-最小構造を用いて補助関数を構成し、導関数の成長を制御し、Pila-Wilkie フレームワークを適用する。
• 準代数的セルと帰納スキームを用いて、複雑性が制御された部分に定義可能集合を分解する。
• Northcott の定理と Liouville の不等式を用いて、有界な次数および高さを持つ代数的点の数を制限する。
• 変数の数に関する帰納法を用いて、単位根の和を分析し、誤差が制御された低次元のケースに問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的有界な o-最小構造における定義可能集合を非常に小さな誤差で近似する、有界な次数および高さを持つ代数的点は、いくつ存在できるか？
• RQ2 定義可能集合上に存在する有理点に関する Pila-Wilkie の数え上げ原理を、その集合の有理近似へと拡張できるか？
• RQ3 o-最小構造における定義可能集合の族にわたる T^ε 界の均一性はいかほどか？
• RQ4 定義可能集合への近似は、その代数的局所との関係において、密度および分布の観点からどのように関連しているか？
• RQ5 このような境界は、例えば単位根の小さな和を有界にする Diophantine 問題に応用可能か？

主な発見

• 任意の多項式的有界な o-最小構造における閉定義可能集合 $X$ に対して、次数が $e$ 以下で高さが $T$ 以下の代数的点で、$X$ を $T^{-\theta\theta\theta}$ の誤差で近似するものの数は、任意の $\theta > 0$ に対して $cT^{\theta}$ で有界である。
• $X$ に正次元の代数的局所が存在しない（$X^{\text{alg}} = \bigcirc$）場合でも、そのような近似代数的点の数は依然として $cT^{\theta}$ で有界であり、近似が依然として代数的構造の周辺に集中することを示している。
• 境界は定義可能集合の族全体にわたって一様であり、定数は集合、次数 $e$、および $\theta$ のみに依存する。
• 結果は単位根の和に応用される：固定された $n$ 次単位根の線形結合の絶対値が $p^{-\lambda}$ 未満であるような $T$ 以下の素数 $p$ の個数は、十分大きな $c$ および $\lambda$ に対して $cT^{\epsilon}$ 未満である。
• 証明は Łojasiewicz の不等式と帰納法に依拠しており、和が小さいならば、対応する角度の組が零点集合の代数的局所の点に非常に近いことが示される。
• 包含関係ではなく近似に焦点を当てることで、元の Pila-Wilkie 定理の全複雑性に依存することを避ける。これにより、誤差パラメータにおいてより強い一様性が得られる。