[論文レビュー] Diophantine Approximations on Fractals

Manfred Einsiedler, Lior Fishman+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、中間三分のカントール集合や対称的平面フラクタルなどの特定のフラクタル上では、ほとんどすべての点が有限パターンをすべて含む連分数展開を持つことが示され、それらが良好に近似可能であることを示している。力学系の手法、特に対角作用および双曲的作用の下での不変測度を用いて、正のハウスドルフ次元をもつフラクタル上での良好に近似可能な（WA）、ディリクレ改善不能でない、および性質Cをもつベクトルの一般性が証明されている。

ABSTRACT

We exploit dynamical properties of diagonal actions to derive results in Diophantine approximations. In particular, we prove that the continued fraction expansion of almost any point on the middle third Cantor set (with respect to the natural measure) contains all finite patterns (hence is well approximable). Similarly, we show that for a variety of fractals in [0,1]^2, possessing some symmetry, almost any point is not Dirichlet improvable (hence is well approximable) and has property C (after Cassels). We then settle by similar methods a conjecture of M. Boshernitzan saying that there are no irrational numbers x in the unit interval such that the continued fraction expansions of {nx mod1 : n is a natural number} are uniformly eventually bounded.

研究の動機と目的

• RおよびR²内のフラクタル部分集合と自然測度との間におけるディオファントス近似クラス（WA, DI, C）の交わりを調査すること。
• 特定の力学系の下で不変である正の次元をもつフラクタルが、ディオファントスクラスの一般性または零測度を継承するかどうかを同定すること。
• Boshernitzanの予想（{nx mod 1}の連分数係数の均等な最終的有界性）を解決すること。
• 滑らかな多様体における測度的ディオファントス近似の結果を、自己相似的または対称的構造をもつフラクタル集合へと拡張すること。

提案手法

• Einsiedler, Lindenstrauss, Katok（2006年）およびLindenstrauss（2006年）による対角作用および双曲的作用の下での不変測度に関する測度分類結果を用いる。
• モジュラー面上の測地線流れおよびガウス写像の力学を適用し、連分数展開と軌道の挙動との関係を確立する。
• 単位接 bundle 内の断面 π(C) を用いてガウス写像と最初の再帰ダイナミクスをモデル化し、記号的力学と連分数を結びつける。
• 対角群 {at} および単心的流れ {uv} の作用を用いて、軌道分布を介して近似性質を分析する。
• エントロピーおよび局所次元関数を用いた測度の正確な次元の概念を適用し、正のハウスドルフ次元を保証する。
• マルコフ分割および有限型の符号的力学系を用いて問題を記号的力学系へ還元し、測度をフラクタル集合へと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のハウスドルフ次元をもち、×n または双曲的自己同型の下で不変であるフラクタル上でも、良好に近似可能なベクトルの集合は一般性を保つか？
• RQ2 R²内の対称的フラクタル上では、ほとんどすべての点がディリクレ改善不能ではなく、かつカステルズの性質Cを満たすか？
• RQ3 カントール集合上では、ほとんどすべての点の連分数展開がすべての有限パターンを含むか？
• RQ4 連分数係数が均等に最終的に有界であるような、[0,1] 内の無理数 x ∈[0,1] が存在するか？

主な発見

• 中間三分のカントール集合 C に自然なハウスドルフ測度を備えた場合、C に属するほとんどすべての x はすべての有限パターンを含む連分数展開を持ち、したがって良好に近似可能である。
• カントール集合と悪く近似可能な数の集合の交わりは、ハウスドルフ次元 log 2 / log 3 をもち、C 上の自然測度に関して零測度である。
• R² 内で正のハウスドルフ次元をもち、双曲的自己同型の下で不変である任意のフラクタルに対して、ほとんどすべての点はディリクレ改善不能ではなく、かつカステルズの性質Cを満たす。
• R² 内の性質Cをもつベクトルの集合は一般的であり、この一般性はR²内の対称的フラクタル上の不変測度によって継承される。
• 本稿ではBoshernitzanの予想を確認した：{nx mod 1} の連分数係数が均等に最終的に有界であるような無理数 x ∈[0,1] は存在しない。
• 著者らは、このようなフラクタル上の自然測度が正確な次元をもち、この次元が関連する力学系のエントロピーと関連していることを確立した。