[論文レビュー] Diophantine transference inequalities: weighted, inhomogeneous, and intermediate exponents

Sam Chow, Anish Ghosh+3 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Aug 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、重み付き、非同次的、および中間的ディオファントス近似指数へキンチンの双対性不等式を拡張し、ベレスネヴィッチ–ヴェラーニの非同次的中間指数に関する予想を証明する。線形写像とその転置の指数の間の双対性関係を外積代数を用いて確立し、メトリックディオファントス近似における古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We extend the Khintchine transference inequalities, as well as a homogeneous-inhomogeneous transference inequality for lattices, due to Bugeaud and Laurent, to a weighted setting. We also provide applications to inhomogeneous Diophantine approximation on manifolds and to weighted badly approximable vectors. Finally, we interpret and prove a conjecture of Beresnevich-Velani (2010) about inhomogeneous intermediate exponents.

研究の動機と目的

• 非同次的ディオファントス近似における重み付き設定へのキンチンの双対性不等式の一般化を目的とする。
• ブゲアウド–ローレンの同次的–非同次的双対性不等式を重み付きおよび非同次的状況に拡張することを目的とする。
• 非同次的中間指数に関するベレスネヴィッチ–ヴェラーニの予想を解釈し、証明することを目的とする。
• 外積代数と格子双対性を用いて、メトリックディオファントス近似における古典的結果を統一的かつ一般化することを目的とする。
• 線形写像の重み付きおよび中間指数とその転置の指数との間の鋭い双対性関係を確立することを目的とする。

提案手法

• 重みベクトル $\mathbf{s} \in \mathbb{R}_{>0}^m$ および $\mathbf{r} \in \mathbb{R}_{>0}^n$ で定義されるノルムを用いて、重み付きディオファントス指数を導入し、$\sum s_i = \sum r_j = 1$ を満たす。
• 不等式 $\|\mathbf{q}\|_{\mathbf{r}} < T$ および $\|A\mathbf{q} - \mathbf{p} - \boldsymbol{\theta}\|_{\mathbf{s}} < T^{-\omega}$ を用いて、非同次的および一様な重み付き指数 $\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A,\boldsymbol{\theta})$ と $\hat{\omega}_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A,\boldsymbol{\theta})$ を定義する。
• 外積代数を用いて、$d$次の中間指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ を、$\boldsymbol{\alpha} \wedge \mathbf{Z}$ および $\Lambda^d(\mathbb{Z}^n)$ 内の格子ベクトルを用いて定義する。
• 標準的同型 $\Lambda^{d+1}(\mathbb{R}^{n+1}) \simeq \mathbb{R}^{n+1 \choose d+1}$ を用いて、多重ベクトルをユークリッド空間のベクトルと同一視し、ノルム比較を行う。
• 写像 $f = \boldsymbol{\alpha} \wedge \cdot$ を $\Lambda^d(\mathbb{R}^n)$ 上に定義し、その転置を用いて双対性を確立し、$\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha})}$ を示し、ほとんど everywhere で等号が成り立つことを示す。
• 非同次的中間指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ が転置行列の一様指数と予想通りの双対性を満たすことを示すことにより、ベレスネヴィッチ–ヴェラーニの予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キンチンの双対性不等式は、ディオファントス近似における重み付きおよび非同次的設定にどのように拡張可能か？
• RQ2 重み付き非同次指数 $\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A, \boldsymbol{\theta})$ とその転置行列の対応する指数との間の関係は何か？
• RQ3 幾何学的および代数的手法を用いて、非同次的中間指数に関するベレスネヴィッチ–ヴェラーニの予想を厳密に証明可能か？
• RQ4 外積代数を用いて定義された中間指数は、古典的な同時および双対指数とどのように関係するか？
• RQ5 ベクトル $\boldsymbol{\alpha}$ の $d$ 次中間指数とその転置の指数との間の正確な双対性関係は何か？

主な発見

• 本稿は重み付き双対性不等式を確立した：$\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{\mathbf{r},\mathbf{s}}({}^tA, \boldsymbol{\theta}')}$ となる $\boldsymbol{\theta}'$ が存在し、キンチンの結果を一般化する。
• 非同次的中間指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ が $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha})}$ を満たし、ほとんどすべての $\boldsymbol{\theta}$ で等号が成り立つことを証明し、ベレスネヴィッチ–ヴェラーニの予想を確認した。
• $d=0$ および $d=n-1$ の場合、それぞれ古典的な同時指数および双対指数が回復され、既知の定義と整合性が確認された。
• 適切な正規化のもとで、一様指数 $\hat{\omega}_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ が指数 $\omega_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}')$ と双対的であることが示された。
• 著者らは、外積代数による中間指数フレームワークが、すべてのランクにわたるディオファントス指数の自然かつ一貫性のある一般化を提供することを示した。
• 主な双対性不等式から、多様体上の非同次的ディオファントス近似および重み付き悪く近似可能なベクトルへの応用が導かれた。