[論文レビュー] Dirac and Weyl Fermions -- the Only Causal Systems

Domenico P. L. Castrigiano|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Topological Materials and Phenomena参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ポincare共変性の下で因果性と局所化可能性を満たす唯一の無限小相対論的量子系がディラックおよびワイルフェルミオンであることを確立している。時空的および非時空的超平面における因果的時間発展と局所化の分析を通じて、因果的局所化に必要な条件（ローレンツ収縮および射影値測度による非時空的領域への拡張）を満たすのは、これらだけであることが証明されている。

ABSTRACT

Causal systems describe the localizability of relativistic quantum systems complying with the principles of special relativity and elementary causality. At their classification we restrict ourselves to real mass and finite spinor systems. It follows that (up to certain not yet discarded unitarily related systems) the only irreducible causal systems are the Dirac and the Weyl fermions. Their wave-equations are established as a mere consequence of causal localization. - The bounded localized Dirac and Weyl wavefunctions are studied in detail. One finds that, at the speed of light, the carriers shrink in the past and expand in the future. For every direction in space there is a definite time at which the change from shrinking to expanding occurs. A late changing time characterizes those states, which shrink to a delta-strip if boosted in the opposite direction. Using a density result for these late-change states one shows that all Dirac and Weyl wave-functions are subjected to Lorentz contraction. The latter is discussed in some detail. - We tackle the question whether a causal system induces a representation of a causal logic and thus provides a localization in proper space-time regions rather than on spacelike hyperplanes. The causal logic generated by the spacelike relation is shown to do not admit representations at all. But the logic generated by the non-timelike relation in general does, and the necessary condition is derived that there is a projection valued measure on every non-timelike non-spacelike hyperplane being the high boost limit of the localization on the spacelike hyperplanes. Dirac and Weyl systems are shown to satisfy this condition and thus to extend to all non-timelike hyperplanes, which implies more profound properties of the causal systems. The bounded localized eigenstates of the projections to non-spacelike flat strips are late-change states.

研究の動機と目的

• ポincare共変性の下で因果性と局所化可能性を満たす唯一の非可約相対論的量子系を同定すること。
• ニュートン＝ヴァイナー局所化と因果性の間の矛盾を解消し、これがディラックおよびワイルフェルミオンのみがこの不一致を回避することを示すこと。
• 因果的局所化が時空的超平面を超えて非時空的超平面へ拡張可能であることを示し、射影値測度を含む必要条件を特定すること。
• 高ブースト条件下での有界局所化ディラックおよびワイル波動関数に対して、ローレンツ収縮が普遍的特徴として現れることを確立すること。
• 因果的局所化における粒子-反粒子混合の役割を明確にし、局所化作用素が純粋状態ではなく混合状態を生成することを示すこと。

提案手法

• 因果的系を $(W, E)$ のペアとして形式化し、$W$ はユニタリなポincare表現であり、$E$ はポincare共変性および因果性条件 $E(\Delta) \leq E(\Delta_\tau)$ を満たす射影値測度（PVM）である。
• ディラックおよびワイル状態の局所化確率密度の長期的挙動を分析し、波動関数が過去には収縮し、未来には拡張することを示し、各空間方向における遷移を示す臨界的「遅延変化」時刻が存在することを明らかにする。
• 遅延変化状態の密度結果を用いて、高ブースト条件下でのすべての有界局所化ディラックおよびワイル波動関数がローレンツ収縮を示すことを証明する。
• 非時空的関係に基づく因果論理を導入し、表現のための必要条件を導出する：すべての非時空的超平面に、時空的局所化PVMの高ブースト極限として得られるPVMが存在すること。
• 電子および陽電子のための正規化作用素測度（POL）を構成し、それが因果的かつ分離可能であることを示し、任意に良好に局所化された状態が存在することを示す。
• ディラックおよびワイル系が非時空的超平面への拡張に必要な条件を満たしていることを証明し、これにより因果的構造のより深い分析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポincare共変性の下で因果性と局所化可能性を満たす唯一の非可約相対論的量子系は何か？
• RQ2 なぜニュートン＝ヴァイナーおよびワイトマンの局所化は因果性を満たさないのか、そしてディラックおよびワイルフェルミオンはどのようにしてこの問題を回避するのか？
• RQ3 因果的局所化は時空的超平面を超えて非時空的領域へ拡張可能か？ そのために必要な条件は何か？
• RQ4 因果的局所化における粒子-反粒子混合の役割は何か？ そして、局所化状態の性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ローレンツ収縮は、因果的系における有界局所化波動関数の普遍的特徴としてどのようにして現れるのか？

主な発見

• ユニタリ同値を除いて、因果的系としての唯一の非可約系はディラックおよびワイルフェルミオンである。
• 有界局所化ディラックおよびワイル波動関数は特徴的な挙動を示す：過去には収縮し、未来には拡張し、各空間方向に対して遷移を示す臨界的「遅延変化」時刻が存在する。
• 高ブースト条件下での遅延変化状態の密度結果を用いて、すべての有界局所化ディラックおよびワイル波動関数がローレンツ収縮を示すことが証明された。
• 非時空的関係によって生成される因果論理は、すべての非時空的超平面に、時空的局所化PVMの高ブースト極限として得られるPVMが存在する場合に限り表現可能である。
• ディラックおよびワイル系はこの条件を満たしており、因果的局所化がすべての非時空的超平面へ拡張可能であることを示し、より深い構造的性質を示唆する。
• 非時空的平坦ストリップへの射影の固有状態は、正確に遅延変化状態である。これは、それらがこれらの系の因果的ダイナミクスにおける中心的役割を果たしていることを確認する。