[論文レビュー] Dirac eigenspinors for generic metrics

Andreas Hermann|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 46被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、次元2または3の閉じたスピン多様体において、一般のリーマン計量のもとで、ディラック作用素の非調和固有スピン場はゼロ点を持たないことを確立している。さらに、次元3において一般の計量のもとで質量自己準同型作用素が非ゼロであることを証明し、共形スピン幾何学および物理におけるゼロ集合とスペクトル不変量に関する重要な問題を解決している。

ABSTRACT

We consider a Riemannian spin manifold (M,g) with a fixed spin structure. The zero sets of solutions of generalized Dirac equations on M play an important role in some questions arising in conformal spin geometry and in mathematical physics. In this setting the mass endomorphism has been defined as the constant term in an expansion of Green's function for the Dirac operator. One is interested in obtaining metrics, for which it is not zero. In this thesis we study the dependence of the zero sets of eigenspinors of the Dirac operator on the Riemannian metric. We prove that on closed spin manifolds of dimension 2 or 3 for a generic Riemannian metric the non-harmonic eigenspinors have no zeros. Furthermore we prove that on closed spin manifolds of dimension 3 the mass endomorphism is not zero for a generic Riemannian metric.

研究の動機と目的

• リーマン計量の変動に伴う閉じたスピン多様体上のディラック作用素の固有スピン場のゼロ集合を調査すること。
• ディラック作用素のグリーン関数展開における定数項である質量自己準同型作用素が、一般の計量のもとで非ゼロであるかどうかを特定すること。
• 低次元スピン幾何学における非調和固有スピン場のゼロの不在および質量自己準同型作用素の非ゼロ性に関する一般性に関する結果を確立すること。
• 正エネルギー定理や共形不変量に関連するスペクトル評価および恒等的にゼロでないスピン場の存在を基盤づけること。

提案手法

• リーマン計量の族に対する横断的理論と解析的摂動技法を用いる。
• 実解析的1パラメータ族の計量に沿ってディラック作用素を拡張するために、正則族の手法を適用する。
• 計量の摂動においてスペクトルの安定性と自己共役性を保証するために、タイプ(A)の正則族の概念を用いる。
• ディラック作用素のグリーン関数の漸近展開を分析して、質量自己準同型作用素を定義する。
• バナッハ多様体の文脈におけるサードの定理と一般性の議論を用いて、固有スピン場のゼロ集合が一般計量のもとで空集合であることを証明する。
• 計量依存の自己準同型作用素および接続係数の局所座標展開と収束評価を用いて、作用素族を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元2または3の閉じたスピン多様体上でのリーマン計量のうち、非調和固有スピン場がゼロ点を持たないのはどのようなものか？
• RQ2 次元3の閉じたスピン多様体上での一般のリーマン計量のもとで、質量自己準同型作用素は非ゼロか？
• RQ3 低次元スピン幾何学において、恒等的にゼロでない固有スピン場の存在を一般に保証できるか？
• RQ4 ディラック作用素のスペクトル的挙動は、特にゼロ集合と共形不変量の観点から、リーマン計量にどのように依存するか？
• RQ5 グリーン関数展開における定数項（質量自己準同型作用素）が非ゼロであることを保証する条件は何か？

主な発見

• 次元2または3の閉じたスピン多様体において、一般のリーマン計量のもとで非調和固有スピン場はゼロ点を持たない。
• 次元3において、一般のリーマン計量のもとで質量自己準同型作用素は非ゼロであり、グリーン関数展開における定数項が一般に非消えることを示唆する。
• バナッハ多様体における横断的および一般性の定理により、計量の小さな摂動のもとでディラック作用素の固有スピン場は一般に恒等的にゼロでなくなる。
• 実解析的1パラメータ族の計量に関連するディラック作用素の族は、自己共役なタイプ(A)の正則族に拡張され、スペクトルの正則性が保証される。
• グリーン関数の漸近展開による質量自己準同型作用素の構成は、一般計量の摂動に対して適切に定義され、安定である。
• これらの結果は、恒等的にゼロでないスピン場の存在を支持しており、これはヒジャジの不等式の証明や一般相対性理論における正規直交基底の構成に不可欠である。