[論文レビュー] Dirac Equation for Photons: Origin of Polarisation

Shinichi Saito|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2023

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 11

ひとこと要約

論文は、グレードインデックスファイバー中の光子の2D時空間Klein-Gordonフレームワークを導出し、閉じ込めが有効質量を生み、ディラック型のスピン記述につながることで、光子のスピンと偏光を結びつける要素を示す。

ABSTRACT

Spin is a fundamental degree of freedom, whose existence was proven by Dirac for an electron by imposing the relativity to quantum mechanics, leading to the triumph to derive the Dirac equation. Spin of a photon should be linked to polarisation, however, the similar argument for an electron was not applicable to Maxwell equations, which are already Lorentz invariant. Therefore, the origin of polarisation and its relationship with spin are not completely elucidated, yet. Here, we discuss propagation of coherent rays of photons in a graded-index optical fibre, which can be solved exactly using the Laguerre-Gauss or Hermite-Gauss modes in a cylindrical or a Cartesian coordinate. We found that the energy spectrum is massive with the effective mass as a function of the confinement and orbital angular momentum. The propagation is described by the one-dimensional ($1D$) non-relativistic Schrödinger equation, which is equivalent to the $2D$ space-time Klein-Gordon equation by a unitary transformation. The probabilistic interpretation and the conservation law require the factorisation of the Klein-Gordon equation, leading to the $2D$ Dirac equation with spin. We applied the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)-Bogoliubov theory of superconductivity to a coherent ray from a laser and identified a radiative Nambu-Anderson-Higgs-Goldstone mode for recovering the broken symmetry. The spin expectation value of a photon corresponds to the polarisation state in the Poincaré sphere, which is characterised by fixed phases after the onset of lasing due to the broken $SU(2)$ symmetry, and it is shown that its azimuthal angle is coming from the phase of the energy gap.

研究の動機と目的

• GRINファイバー中のコヒーレント光ビームを2DのKlein-Gordon方程式とファイバー伝搬方向に沿った1Dシュレーディンガー方程式で記述できることを示す。
• 閉じ込め誘起のエネルギーギャップが光子に有効質量を与え、ディラック様の形式によりスピンと結びつくことを示す。
• SU(2)対称性を通じた光子偏光とスピンの関係を解明し、ポインカレ球上に現れること。
• エネルギーギャップの位相を偏光の方位角と、コヒーレントレーザー状態におけるBogoliubov/BCS型枠組みを介して結びつける。

提案手法

• n(r)^2 = n0^2(1 - g^2 r^2) を用いたGRINファイバーのヘルムホルツ方程式を導出し、正確なモード解（Hermite-Gaussおよび Laguerre-Gauss）を得る。
• 二次分 dispersion relation omega0^2 - 2 Delta omega0 - (v0 k)^2 = 0 を示し、Delta = hbar delta w0 (2n + |m| + 1) を定義する。
• Delta = m* v0^2 として分散から有効質量 m* を定義し、伝搬方向 z に沿った1Dシュレーディンガー方程式を導く: iħ ∂t ψz^+ = -(ħ^2/2m*) ◻2 ψz^+ ここで ◻2 = ∂t^2/v0^2 - ∂z^2。
• 単位aryの平移によって2D Klein-Gordon方程式が得られることを示し、放射的Nambu–Anderson–Higgs–Goldstoneモードへと導く2D Klein-Gordon/BCS-Bogoliubov枠組みについて議論する。
• パリティ、時刻反転、およびSU(2)スピン構造を議論し、ポインカレ球上のスピン期待値とStokesパラメータを結びつける。
• 対称性が破れたコヒーレントレーザー状態を導入し、偏角 polarisation angle をエネルギーギャップの位相として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GRINファイバーの閉じ込めは光子の分散をどのように修正し、有効質量を誘導するのか？
• RQ2 2D Klein-Gordon/Diracフレームワークはガイドモードにおける光子のスピンと偏光を説明できるのか？
• RQ3 崩壊した対称性とエネルギーギャップは偏光位相とエネルギーギャップ位相を結びつける役割を果たすのか？
• RQ4 パリティと時間反転演算はGRINファイバーにおけるスピン、キラリティ、および伝搬にどのような影響を与えるのか？

主な発見

• モード解は二次分散をもたらし、Deltaを含むエネルギーギャップを含んでいるため、GRINファイバー中の光子は実質的に質量を持つ。
• 1Dシュレーディンガー方程式 along propagation に対して単位ary変換から2D時空Klein-Gordon方程式が得られる。
• 光子のスピン期待値はポインカレ球上の偏光状態に対応し、方位角はエネルギーギャップ位相に結びつく。
• コヒーレントレーザー状態における放射的Nambu–Anderson–Higgs–Goldstoneモードは、崩れた対称性を回復する機構として特定される。
• パリティと時間反転対称性は、結合したガイドモード（ギャップあり）と放射モード（ギャップなし）で異なる挙動を示し、スピン、キラリティ、伝搬方向を結びつける。