[論文レビュー] Dirac equation for quasi-particles in graphene in an external electromagnetic field and chiral anomaly

Riazuddin|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、外部の電磁場下でのグラフェン内の質量ゼロの準粒子に対するディラック方程式を導出し、$γ^5$ 行列が存在しない (1+2) 次元でホロノミー異常を確立する。軸電流の発散が、三角形フェニマン図による量子補正から生じることを示し、異常は $rac{e^2}{16ar{\pi}}( ext{符号 }m)ε^{\mu\nu\rho}(k_1 - k_2)_\rho$ に比例する。質量正規化子の符号に依存し、(3+1)Dにおけるアドラー＝ベル＝ジャッキーウィット異常と類似しているが、次元性に応じて修正されている。

ABSTRACT

There is evidence for existence of massless Dirac quasi-particles in graphene, which satisfy Dirac equation in (1+2) dimensions near the so called Dirac points which lie at the corners at the graphene's brilluoin zone. It is shown that parity operator in (1+2) dimensions play an interesting role and can be used for defining conserved chiral currents [there is no gamma^5 in (1+2) dimensions]. It is shown that the "anomalous" current induced by an external gauge field can be related to the anomalous divergence of an axial vector current which arises due to quantum radiative corrections provided by triangular loop Feynman diagrams in analogy with the corresponding axial anomaly in (1+3) dimensions.

研究の動機と目的

• 外部電磁場が存在する中で、グラフェンのディラック点近傍における準粒子のディラック方程式の形を確立すること。
• (1+2) 次元におけるパリティおよびホロノミー対称性の役割を調査すること。$\gamma^5$ が存在しないが、それでもホロノミー電流を定義可能であることを示すこと。
• 三角形ループ図から生じる量子効果としてのグラフェンにおける軸異常を調査すること。これは (3+1)D におけるアドラー＝ベル＝ジャッキーウィット異常と類似している。
• 次元正則化を用いて軸電流 $\partial_\mu J_5^\mu$ の発散を計算し、質量正規化子の符号に依存するかどうかを特定すること。
• 理論的異常をゲージ不変な方法で、電場および磁場といった測定可能な物理量と結びつけること。

提案手法

• 2つの不等価な $\gamma$-行列表現を用いて、(1+2) 次元におけるディラック方程式を定式化し、2つのディラック点 $\mathbf{K}$ および $\mathbf{K}'$ に対応させる。
• 場の再定義 $\psi_A = \psi_+$、$\psi_B = i\gamma^2\psi_-$ を導入し、$U_A(1) \otimes U_B(1)$ 対称性を持つ2つのディラック型項の和としてラグランジアンを表現する。
• $\psi_A$ および $\psi_B$ の場から軸電流およびベクトル電流を構成し、$J_\pm^\mu = \frac{1}{2}(\overline{\psi}_A\gamma^\mu\psi_A \pm \overline{\psi}_B\gamma^\mu\psi_B)$ を用いてホロノミー電流を定義する。
• 質量のあるディラックフェルミオンを正規化子として用い、1ループの三角形フェニマン図を用いて軸電流の発散 $\partial_\mu J_5^\mu$ を計算する。
• $d=3$ での次元正則化を適用し、ループ積分を評価することで、$\epsilon^{\mu\nu\rho}k_{1\rho}$ に比例する有限な異常表現を得る。
• 配置空間における異常を $\partial_\mu J_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi}(\text{符号 }m)\epsilon^{\mu\nu\lambda}F_{\mu\nu}A_\lambda$ として導出し、質量の符号に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma^5$ 行列が存在しない (1+2) 次元でも、ホロノミー対称性が定義可能であるにもかかわらず、ホロノミー異常はどのように現れるか？
• RQ2 外部電磁場下でのグラフェンにおける軸電流発散 $\partial_\mu J_5^\mu$ は、量子補正からどのように導かれるか？
• RQ3 (1+2) 次元における異常は、(3+1) 次元の場合と比較して、質量正規化子の符号にどのように依存するか？
• RQ4 グラフェンにおける軸異常は、物理的電場および磁場の言いかたで表現可能か？ゲージ選択は結果にどのように影響するか？
• RQ5 ディラックギャップ $\Delta$ は異常においてどのような役割を果たすか？また、正則化スキームにおける質量パラメータ $m$ とどのように関係するか？

主な発見

• 軸電流発散 $\partial_\mu J_5^\mu$ は、$rac{e^2}{16\pi}(\text{符号 }m)\epsilon^{\mu\nu\rho}(k_1 - k_2)_\rho$ に比例することが判明し、質量正規化子の符号に明示的な依存性を示している。
• (1+2) 次元における異常は $m$ の大きさに依存しないが、符号に依存する。これは (3+1) 次元の場合とは対照的であり、その場合異常は $m$ に依存しない。
• 配置空間では、異常は $\partial_\mu J_5^\mu = -\frac{e^2}{8\pi}(\text{符号 }m)B(\vec{E} \cdot \vec{r})$ の形を取り、$A_0 = 0$ のゲージで有効であり、電場および原点からの距離に結びつく。
• ベクトル電流の発散 $\partial_\mu J_3^\mu$ は $m$ および $\text{符号}(m)$ に依存し、一様な磁場中では $\partial_\mu J_3^\mu = \frac{e^2}{4\pi}(\text{符号 }m)mv_f B^2 r^2$ となる。
• 異常式はグラフェンに存在するディラックギャップ $\Delta$ と整合しており、$m = \Delta / v_f^2$ であることから、異常がバンド構造のエネルギーギャップに敏感であることが示された。
• 結果は、グラフェンにおけるホロノミー異常が量子ループ補正に起因し、ゲージ変換に対して安定であることを確認しており、次元性に応じて修正されたアドラー＝ベル＝ジャッキーウィット異常と類似した構造を示している。