[論文レビュー] Dirac equation in terms of hydrodynamic variables

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間の代わりに流体力学的変数——4次元フラックス $j^i$、スピン擬スカラー $S^i$、作用スカラー $\hbar\varphi$、および擬スカラー $\kappa$——を用いてディラック方程式を再定式化し、クリフォード代数の技法を用いて $\gamma$-行列を排除する。主な結果として、ディラック系は流体力学的形で非相対論的共変的となるが、相対論的共変性を回復させるために追加の定数時的ベクトル $f^i$ が必要である。これにより、電子が点粒子ではなく内部構造を持つ非点的系であることが明らかになる。

ABSTRACT

The distributed system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation is investigated simply as a dynamic system, i.e. without usage of quantum principles. The Dirac equation is described in terms of hydrodynamic variables: 4-flux $j^{i}$, pseudo-vector of the spin $S^{i}$, an action $\hbar ϕ$ and a pseudo-scalar $κ$. In the quasi-uniform approximation, when all transversal derivatives (orthogonal to the flux vector $j^i$) are small, the system $\mathcal{S}_D$ turns to a statistical ensemble of classical concentrated systems $\mathcal{S}_{dc}$. Under some conditions the classical system $\mathcal{S}_{dc}$ describes a classical pointlike particle moving in a given electromagnetic field. In general, the world line of the particle is a helix, even if the electromagnetic field is absent. Both dynamic systems $\mathcal{S}_D$ and $\mathcal{S}_{dc}$ appear to be non-relativistic in the sense that the dynamic equations written in terms of hydrodynamic variables are not relativistically covariant with respect to them, although all dynamic variables are tensors or pseudo-tensors. They becomes relativistically covariant only after addition of a constant unit timelike vector $f^{i}$ which should be considered as a dynamic variable describing a space-time property. This "constant" variable arises instead of $γ$-matrices which are removed by means of zero divizors in the course of the transformation to hydrodynamic variables. It is possible to separate out dynamic variables $κ$, $κ^i$ responsible for quantum effects. It means that, setting $κ,κ^i\equiv 0$, the dynamic system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation turns to a statistical ensemble $\mathcal{E}_{Dqu}$ of classical dynamic systems $\mathcal{S}_{dc}$.

研究の動機と目的

• ディラック方程式を量子力学的波動方程式としてではなく、分布化された媒体の動的系として取り扱い、量子原理を避けること。
• クリフォード代数におけるサウター＝ゾンマーフェルト法を用いて、流体力学的変数で表すことにより、ディラック方程式から $\gamma$-行列を排除すること。
• 流体力学的再定式化を通じて、内部構造や非相対論的内部自由度といった隠れた物理的性質を明らかにすること。
• 相対論的共変性が、定数時的ベクトル $f^i$ を導入することでのみ成立することを示すこと。

提案手法

• ディラック方程式を8つの実数テンソル変数——4次元フラックス $j^i$、スピン擬スカラー $S^i$、作用スカラー $\varphi$、および擬スカラー $\kappa$——で表現し、流体力学的表現を構築する。
• $\gamma$-行列はクリフォード代数の零因子を用いて排除され、相対論的共変性を回復させるために定数時的ベクトル $f^i$ に置き換えられる。
• 準均一近似において、横方向の微分が小さいものとし、分布系 $\mathcal{S}_D$ を古典的点粒子 $\mathcal{S}_{dc}$ の統計集合 $\mathcal{E}_{Dqu}$ に簡約する。
• 統計集合技法（SET）を適用し、集合を決定論的系として扱い、演算子や確率振幅といった量子論的仮定を避ける。
• 作用式 (2.2) を用いた変分原理から運動方程式を導出し、制約下で元のディラック作用 (2.1) と同等であることを示す。
• $\kappa$ と $\kappa^i$ の役割を特定し、これが量子効果を引き起こす要因であると特定する。$\kappa$ をゼロに設定することで、古典的統計集合が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma$-行列を排除して流体力学的変数でディラック方程式を再定式化することは可能か？ その物理的内容は保たれるか？
• RQ2 フラックス、スピン、作用、擬スカラー変数で表した場合、どのような物理的性質が顕在化するか？
• RQ3 なぜ流体力学的形のディラック方程式は、追加の定数時的ベクトル $f^i$ がなければ相対論的共変性を満たさないのか？
• RQ4 $\gamma$-行列の排除は、ディラック粒子の内部構造について何を明らかにするか？
• RQ5 標準的な量子論的仮定が存在しない状況で、変数 $\kappa$ と $\kappa^i$ は量子効果とどのように関係するか？

主な発見

• ディラック粒子は点粒子ではなく、流体力学的再定式化によって明らかになる複雑な内部構造を持つ。
• ディラック粒子の内部自由度は、全体の系が相対論的であるにもかかわらず、非相対論的力学によって記述される。
• 相対論的共変性は流体力学的変数そのものに内在しない。相対論的共変性を回復させるには、定数時的ベクトル $f^i$ の導入が必要であり、これは $\gamma$-行列の役割を果たす。
• 擬スカラー $\kappa$ 及びそのベクトル版 $\kappa^i$ は、量子効果を引き起こす動的変数であると特定された。
• $\kappa, \kappa^i \equiv 0$ とすると、系は古典的点粒子 $\mathcal{S}_{dc}$ の統計集合 $\mathcal{E}_{Dqu}$ に還元され、電磁場が存在しない場合でも各粒子は螺旋状の世界線を描く。
• 与えられた制約下で作用式 (2.1) と (2.2) が同等であることから、流体力学的表現は数学的に元のディラック方程式と同等であることが示された。