[論文レビュー] Dirac fermions in de Sitter and anti-de Sitter backgrounds

Ion I. Cotǎescu|ArXiv.org|Jan 22, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、キリングベクトルによって生成される外部対称性を用いて、de Sitter (dS) および反 de Sitter (AdS) 観測時空におけるディラック場の量子モードをゲージ不変な枠組みで定義する。等長変換と tetrad ゲージ不変性から保存量を構成することで、AdS では正規化され、離散的な量子モードをもつ完全な可換演算子の集合が得られ、これにより正準的第二量子化が可能となる。一方、dS では移動座標系でのみ正規化と量子化が可能であり、運動量表現が用いられる。

ABSTRACT

Starting with a new theory of symmetries generated by isometries in field theories with spin, one finds the generators of the spinor representation in backgrounds with a given symmetry. In this manner one obtains a collection of conserved operators from which one can chose the complete sets of commuting operators defining quantum modes. In this framework, the quantum modes of the free Dirac field on de Sitter or anti-de Sitter spacetimes can be completely derived in static or moving charts. One presents the discrete quantum modes, in the central static charts of the anti-de Sitter spacetime, whose eigenspinors can be normalized. The consequence is that the second quantization can be done in this case in canonical manner. For the free Dirac field on de Sitter manifolds this can not be done in static charts being forced to consider the moving ones. The quantum modes of the free Dirac field in these charts are used for writing down the quantum Dirac field and its one-particle operators.

研究の動機と目的

• 非自明な等長性を持つ曲がった時空におけるスピン1/2場の物理的量子モードを定義する課題に応えること。
• スピンル場を伴う曲がった時空における外部対称性の保存生成子を一貫して構成する方法を開発すること。
• 完全な可換演算子の集合を同定することで、dS および AdS 背景におけるディラック場の正準的第二量子化を可能にすること。
• 特に de Sitter 時空における静的座標系での量子モードの正規化問題を解消すること。
• tetrad ゲージ不変表現を用いて、dS および AdS 時空へのポincare類似対称性枠組みの拡張を図ること。

提案手法

• キリングベクトルとテトラッドゲージ変換から外部対称性群の生成子を導出し、場の運動方程式が不変となるように保証する。
• 中心座標系でカルテシアン・テトラッドゲージを用いることで、中心対称性をグローバルにし、生成子におけるポincare類似スピン項を回復する。
• 理論を dS および AdS 時空に適用し、静的および移動座標系におけるディラック方程式を解析的に解く。
• 保存生成子から完全な可換演算子の集合を同定し、量子モードを共通固有状態として定義する。
• dS における移動座標系で運動量表現を用い、解の正規化と第二量子化を可能にする。
• ハンケル関数の恒等式と漸近的解析を用いて、ディラックスピンル解の空間的および時間的成分を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キリング対称性に基づく保存演算子を用いて、dS および AdS 時空におけるディラック場に対して一貫した可換演算子の集合を構成できるか？
• RQ2 なぜ AdS では正準的第二量子化が可能であるのに対し、静的 dS 座標系では不可能なのか？
• RQ3 テトラッドゲージの選択がスピンル場の生成子の構造および量子モードの正規化に与える影響は何か？
• RQ4 共形不変性および対称性群（SO(4,1) および SO(3,2)）は、質量ありおよび質量なしディラック場のスペクトルにどのような役割を果たすか？
• RQ5 de Sitter 時空において離散的で正規化された量子モードを発見できるか。もし可能であれば、どの座標系で得られるか？

主な発見

• 反 de Sitter 時空では、中心の静的座標系において、エネルギー固有値が明確に定義された離散的量子モードが得られ、それらの固有スピンルは正規化可能である。
• AdS 時空におけるディラック場の第二量子化は、正規化され、離散的なモードが存在するため、正準的に行える。
• de Sitter 時空において、静的座標系におけるディラック方程式は、正規化不可能な連続的エネルギー解しか得られず、この座標系では正準的第二量子化が不可能である。
• 移動座標系（カルテシアン座標）における dS 時空では、運動量表現により適切に正規化された解が得られ、第二量子化が可能となる。
• AdS 時空における質量ありディラック場のエネルギースペクトルは離散的で非等間隔であり、$ E_n = \big[m^2 + \frac{\nu^2}{\rho^2} (n + \frac{d}{2})^2 \big]^{1/2} $ で与えられ、$ \nu $ はスピンル構造に関連する。
• 質量なしディラック場では、共形的に関連する多様体（AdS および $ \text{R} \times S^d $ を含む）におけるエネルギースペクトルは $ E_n^0 = \frac{\nu}{\rho} (n + \frac{d}{2}) $ で与えられ、質量に依存せず共形不変性に従う。