[論文レビュー] Dirac-Hulthen Problem with Position-dependent Mass in D-dimensions

D. Agboola|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、D次元における位置依存質量およびHulthénポテンシャルを有するDirac方程式に対して、遠心項の指数近似を用いた近似的な解析解を提示する。直接変換法を用いて、Jacobi多項式で表される2成分スピン波動関数および相対論的エネルギー準位を導出する。その結果、非相対論的系と同様に、エネルギー準位に次元的 degeneracy が見られることが明らかになった。

ABSTRACT

An approximate solution of the position-dependent mass Dirac equation with the Hulthen potential is obtained in $D$-dimensions within frame work of an exponential approximation of the centrifugal term. The relativistic energy spectrum is worked out using direct transformation method; the two-component spinor wavefunctions are obtained in terms of the Jacobi polynomials. Dependence of the energy levels on some parameters is discussed. The results obtained are in good agreement with previous works.

研究の動機と目的

• D次元における位置依存質量およびHulthénポテンシャルを有する束縛状態解のDirac方程式を調査すること。
• 非相対論的Hulthénスペクトルで観察される次元的degeneracyが、相対論的領域でも継続するかどうかを検討すること。
• D次元相対論的系におけるℓ ≠ 0状態に対して、遠心項の指数近似を適用すること。
• 直接変換法を用いて、相対論的エネルギー準位およびスピン波動関数を導出すること。
• エネルギー準位がスクリーニングパラメータαおよび空間次元Dにどのように依存するかを分析すること。

提案手法

• 自然単位（ħ = c = 1）を用いて、位置依存質量μ(r)およびHulthénポテンシャルV(r)を有するD次元Dirac方程式を定式化する。
• ℓ ≠ 0状態を扱うために、遠心項に指数近似を適用し、解析的取り扱いを可能にする。
• 直接変換法を用いて径方向Dirac方程式を解き、それを超幾何型微分方程式に変換する。
• 変換法を介して、2成分スピン波動関数をJacobi多項式の形で表現する。
• 与えられた近似のもとで得られる固有値問題を解くことにより、相対論的エネルギー準位を導出する。
• スクリーニングパラメータαおよび空間次元Dに伴うエネルギー依存性を分析し、収束性およびdegeneracy挙動を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的系と同様に、Hulthénポテンシャルスペクトルにおける次元的degeneracyが、相対論的Dirac枠組みでも保持されるか？
• RQ2 位置依存質量の導入が、Hulthénポテンシャルを有するD次元Dirac系のエネルギー準位および波動関数に与える影響は何か？
• RQ3 遠心項の指数近似が、D次元におけるℓ ≠ 0状態のDirac方程式を解く際に、どの程度の精度を保っているか？
• RQ4 Dirac-Hulthén系のエネルギー固有値は、スクリーニングパラメータαおよび空間次元Dにどのように依存するか？
• RQ5 エネルギー固有値が虚数になる条件は何か。これは物理的に意味のない解を示している。

主な発見

• 直接変換法を用いて、位置依存質量を有するDirac-Hulthén問題の相対論的エネルギー準位が閉形式で導出された。
• 2成分スピン波動関数がJacobi多項式で表現され、与えられた近似のもとで系が解析的に解けることが確認された。
• スクリーニングパラメータαの特定の値において、エネルギー準位に次元的degeneracyが見られ、非相対論的系と同様の性質を示した。
• αが大きい場合、Klein-Gordon方程式およびDirac方程式のエネルギー固有値が虚数になり、物理的に意味のない解となる物理的限界を示した。
• Dirac-Hulthénスペクトルは、Klein-Gordon系と比較して次元にわたってより均等に分布しており、高エネルギー励起状態は[-1, 0]の範囲に収束する。
• エネルギー準位は次元Dの増加に伴い収束し、減少する。Dが大きい場合、Klein-Gordon系ではエネルギーは-4に近づき、αが大きい場合にはnにわたるdegeneracyの可能性が示された。