[論文レビュー] Dirac-K\"{a}hler fermions and exact lattice supersymmetry

Simon Catterall|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Grassmann値をとる反対称テンソル場として表現されるねじれたフェルミオンを用いた、超対称ヤン・ミルズ理論の新規な格子形式を提案する。これにより、有限格子間隔においてスカラーのノルム的でゼロであるスーパーチャージ $Q$ を正確に保存できる。この手法はスペクトル二重化を回避し、ゲージ不変性を保ち、作用の $Q$-正確性を維持する。その結果、2次元の ${\cal N}=2$ において正確な超対称性を保つ格子理論が得られ、4次元の ${\cal N}=4$ への自然な拡張も可能となる。

ABSTRACT

We discuss a new approach to putting supersymmetric theories on the lattice. The basic idea is to start from a {\\it twisted} formulation of the underlying supersymmetric theory in which the fermions are represented as grassmann valued antisymmetric tensor fields. The original supersymmetry algebra is replaced by a twisted algebra which contains a scalar nilpotent supercharge $Q$. Furthermore the action of the theory can then be written as the $Q$-variation of some function. The case of ${\\cal N}=2$ super Yang-Mills theory in two dimensions is discussed in some detail. We then present our proposal for discretizing this theory and derive the resultant lattice action. The latter is local, free of spectrum doubling, gauge invariant and preserves the scalar supercharge invariance exactly. Some preliminary numerical results are then presented. The approach can be naturally generalized to yield a lattice action for ${\\cal N}=4$ super Yang-Mills in four dimensions.

研究の動機と目的

• 有限格子間隔において少なくとも1つの超対称性を正確に保存する超対称ヤン・ミルズ理論の格子形式を開発すること。
• ディラック＝カーラー fermion を用いた幾何的で反対称テンソル場の表現により、格子フェルミオンにおけるスペクトル二重化問題を克服すること。
• 超対称性のねじれた形式を一般化し、スカラーのノルム的でゼロであるスーパーチャージ $Q$ を明らかにすることで、正確な格子離散化を可能とすること。
• ゲージ不変性を保ち、$Q$-正確性を維持する局所的格子作用を構築し、連続極限において関連する超対称性破れ項を避けること。
• 複素化された場と非標準的なゲージ変換を用いて、特に4次元の ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論への拡張を図ること。

提案手法

• フェルミオンをGrassmann値をとる反対称テンソル場として表現し、それらを1つのディラック＝カーラー場に写像することで、二重化を排除し、幾何的離散化を可能にする。
• 超対称性代数をねじるための場の再定義を施し、スカラーのノルム的でゼロであるスーパーチャージ $Q$ を明らかにする。これにより作用が $Q$-正確になる：$S = Q\Psi$。
• 前進差分作用素 $D^{+}_{\mu}$ と後退差分作用素 $D^{-}_{\mu}$ を用いて連続理論を離散化する。これらは格子上での外微分作用素とその随伴に類似している。
• テンソル場に対する非標準的なゲージ変換則を定義し、格子上の $Q$-対称性のもとでゲージ不変性を保つ。
• 作用を関数の $Q$-変化として構築することで、有限格子間隔においてもスカラー超対称性のスーパー・チャージ $Q$ に対して正確に不変であることを保証する。
• 複素化された場を用いて4次元、${\cal N}=4$ 理論を記述し、実数部に制限した場合に連続極限で微調整なしにWard恒等式が保たれるという仮説を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の ${\cal N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論に対して、有限格子間隔において正確に1つの超対称性を保存する格子形式を構築できるか？
• RQ2 ねじれた形式でディラック＝カーラー fermion を用いることで、フェルミオンの二重化問題を解消しつつ、ゲージ不変性と超対称性を保てるか？
• RQ3 共変差分作用素を用いた格子離散化において、作用の $Q$-正確性を維持できるか？
• RQ4 このアプローチを、有限格子間隔において正確な超対称性を保つ4次元の ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論に拡張できるか？
• RQ5 複素化された場を実数部に制限した場合、連続極限において微調整なしにスカラー超対称性に対応するWard恒等式が満たされるか？

主な発見

• 2次元の ${\cal N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論の格子作用は局所的であり、スペクトル二重化を含まず、ゲージ不変性を保ち、有限格子間隔においてスカラーのノルム的でゼロであるスーパーチャージ $Q$ に対して正確に不変である。
• この手法は、複素化された場と非標準的なゲージ変換を用いることで、4次元の ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論に対する候補となる格子作用に自然に一般化できる。
• 新規なRHMCアルゴリズムを用いた動的フェルミオンシミュレーションによる2次元、$U(2)$ モデルの初期数値結果は、期待される $Q$-正確性と微調整の欠如と整合的である。
• $Q$-正確性により、作用が連続極限において実数部に制限された場合でも、スカラー超対称性に対応するWard恒等式が保たれる。
• このアプローチでは、超対称性破れ項を相殺するために微調整を必要とせず、格子作用が初期段階から正確に $Q$-不変であるように構築されている。
• ねじれた形式の幾何的性質は、単体格子への拡張や、ランダム格子和を用いた重力への結合への応用を示唆し、格子超重力理論への道筋を開く。