[論文レビュー] Dirac operator and a twisted cyclic cocycle on the standard Podles quantum sphere

Konrad Schmuedgen, Elmar Wagner|ArXiv.org|May 2, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、$mathrm{S}₁^{2}$ の標準的ポドルェシュ量子球面における実スペクトル三重項を、$mathcal{O}(mathrm{SU}₁(2))$ の部分空間上の $mathcal{U}₁(mathrm{su}₂)$ 生成子の右作用によって定義されるディラック作用素 $D$ を用いて構成する。主な結果は、特徴的な2次元共変微分計算の体積形式に関連するねじれ循環2次コサイクルが、$|D|^{-z}$ とトレースの残留表現を用いて明示的に表現されることであり、ねじれ循環コホモロジーにおける非自明性が証明される。

ABSTRACT

A Dirac operator D on the standard Podles sphere is defined and investigated. It yields a spectral triple such that |D|^{-z} is of trace class for Re z>0. Commutators with the Dirac operator give the distinguished 2-dimensional covariant differential calculus on the standard Podles sphere. The twisted cyclic cocycle associated with the volume form of the differential calculus is expressed by means of the Dirac operator.

研究の動機と目的

• 標準的ポドルェシュ量子球面 $\mathrm{S}_q^2$ 上に、$mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$-作用から導かれるディラック作用素を用いて実スペクトル三重項を確立すること。
• $x \in \mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ に対して $[D,x]$ が、$\mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ 上の特徴的な2次元共変微分計算を再現することを示すこと。
• 不変体積形式に関連するねじれ循環2次コサイクルを、ディラック作用素とトレース残留表現を用いて表現すること。
• このコサイクルがねじれ循環コホモロジーにおいて非自明な類を表すことを証明すること。

提案手法

• ディラック作用素 $D = \begin{pmatrix} 0 & R_F \\ R_E & 0 \end{pmatrix}$ を $V^+ \oplus V^-$ 上に定義し、ここで $R_E, R_F$ は $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 上における $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ の生成子 $E,F$ の右作用である。
• $D$ が離散スペクトル $[l+1]_q$ を持つこと（重複度 $2l+1$）を証明し、$\mathrm{Re}\,z > 0$ に対して $|D|^{-z}$ がトレースクラスであることを保証する。
• $x \in \mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ に対して $[D,x]$ が一階微分計算の有界な交換子表現を実現することを示す。
• 体積2形式 $\omega$ を $\Gamma^{\wedge 2}$ の右余不変生成子として構成し、$\Gamma^{\wedge 2} = \omega \mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ であることを証明する。
• 状態 $h$ とペアリング $\langle t_2, \omega \rangle = 1$ を用いてねじれ循環2次コサイクル $\tau_{\omega,h}$ を定義し、明示的な公式を導出する。
• トレース残留公式を確立する：$\tau_{\omega,h}(x_0,x_1,x_2) = (q-q^{-1})^{-1}(\log q) \cdot \mathrm{res}_{z=2} \mathrm{Tr}_{\mathcal{K}} \gamma_q K^2 |D|^{-z} x_0[D,x_1][D,x_2]$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ポドルェシュ量子球面上の特徴的な2次元共変微分計算は、スペクトル三重項によって実現可能か？
• RQ2 $mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$-作用から導かれるディラック作用素 $D$ は、微分計算を再現する有界な交換子をもたらすか？
• RQ3 体積形式に関連するねじれ循環2次コサイクルは、ディラック作用素とトレース残留表現を用いて表現可能か？
• RQ4 得られたコサイクルはねじれ循環コホモロジーにおいて非自明な類を表すか？
• RQ5 $\tau_{\omega,h}$ の明示的公式は、$D$ のスペクトルデータから導出可能か？

主な発見

• ディラック作用素 $D$ は、$\mathrm{Re}\,z > 0$ に対して $|D|^{-z}$ がトレースクラスであることを確認し、スペクトル次元が2であることを示唆する、$\mathrm{S}_q^2$ 上の実スペクトル三重項を生成する。
• $x \in \mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ に対して $[D,x]$ は、$\mathrm{d}x \sim \mathrm{i}[D,x]$ を通じて特徴的な2次元共変微分計算を実現する。
• 体積2形式 $\omega$ は、$\mathcal{O}(\mathrm{S}_q^2)$ 上の自由な右加群として $\Gamma^{\wedge 2}$ を生成し、右余不変性を満たす。
• ねじれ循環2次コサイクル $\tau_{\omega,h}$ は、非自明なペアリング $\langle t_2, \omega \rangle = 1$ により、ねじれ循環コホモロジーにおいて非自明な類であることが確認される。
• 明示的な公式が導出される：$\tau_{\omega,h}(x_0,x_1,x_2) = (q-q^{-1})^{-1}(\log q) \cdot \mathrm{res}_{z=2} \mathrm{Tr}_{\mathcal{K}} \gamma_q K^2 |D|^{-z} x_0[D,x_1][D,x_2]$ であり、コサイクルがスペクトルデータと関連付けられる。
• このコサイクルの公式が、$h\big(x_0(R_F(x_1)R_E(x_2) - q^2 R_E(x_1)R_F(x_2))\big)$ と等価であることが示され、微分計算と整合性が確認される。