[論文レビュー] Dirac operators on noncommutative principal torus bundles

Alessandro Zucca, Ludwik Dąbrowski|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学を主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドルへ拡張するもので、スペクトル三重対における強い接続を用いて新しいディラック作用素を構成する。$U(1)$-バンドルの場合の一般化であるねじれディラック作用素を導入し、非可換トーラスおよびシータ変形多様体と整合することを証明し、射影的スペクトル三重対に対するシータ変形の函手性を確立する。

ABSTRACT

Spectral triples over noncommutative principal $\T^n$-bundles are studied, extending recent results about the noncommutative geometry of principal U(1)-bundles. We relate the noncommutative geometry of the total space of the bundle with the geometry of the base space. Moreover, strong connections are used to build new Dirac operators. We discuss as a particular case the commutative case, the noncommutative tori and theta deformed manifolds.

研究の動機と目的

• スペクトル三重対を用いて、$U(1)$-バンドルの非可換幾何学を主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドルへ一般化すること。
• 強い接続を用いて、非可換主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル上に新しいディラック作用素を定義し構成すること。
• ディラック作用素が接続によって誘導される微分計算と整合することを確立すること。
• シータ変形が主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル構造およびスペクトル三重対の性質を保存することを示すこと。
• 得られるスペクトル三重対が、シータ変形された場合にコンネスの非可換多様体の公理を満たすことを示すこと。

提案手法

• 非可換主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル上の実スペクトル三重対の枠組みを用い、$n$ 個の可換ユニタリを生成するホップ代数 $H = H(\mathbb{T}^{n})$ を導入する。
• コアクション $\Delta_R$ を持つ主 $H$-コモジュール代数 $\alpha$ と、写像 $\ell: H \to \alpha \otimes \alpha$ を通じて定義される強い接続形式 $\omega$ を定義する。
• 接続 $\omega$ を用いて水平ディラック作用素 $D_0$ を変形することでねじれディラック作用素 $D_\omega$ を構成し、実構造 $J$ と整合することを保証する。
• リエッフェルの変形量子化を適用して、作用 $\alpha \otimes \beta^{-1}$ における固定点部分代数を用いてシータ変形スペクトル三重対を構成する。
• 変形されたスペクトル三重対 $(C^\infty(M_\theta), \mathcal{H}_\theta, D_\theta)$ が、非可換多様体のためのコンネスの公理をすべて満たすことを検証する。
• 元の接続 $\omega$ が $D$ と整合するならば、$M_\theta$ 上の接続 $\omega_\theta = \omega \otimes 1$ が $D_\theta$ と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い接続を用いて、非可換主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル上にディラック作用素をどのように構成できるか？
• RQ2 非可換設定において、ディラック作用素と接続の整合性を保証する条件は何か？
• RQ3 シータ変形は非可換幾何学における主バンドル構造およびスペクトル三重対の性質をどのように保存するか？
• RQ4 非可換 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル上のスペクトル三重対は、コンネスの非可換多様体の公理を満たすことができるか？
• RQ5 非可換主トーラスバンドルにおいて、全空間の幾何学は底空間の幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• 強い接続を用いて水平ディラック作用素をねじることで、$U(1)$-バンドルの場合の一般化である新しいクラスのディラック作用素 $D_\omega$ が構成される。
• 接続 $\omega$ が $D_\omega$ と整合するための条件は $\omega_1^3 = \omega_2^3 = 0$ であり、代数元との交換子が有界であることを保証する。
• スペクトル三重対 $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, D_\omega)$ は、$\sigma^3$ が $\mathcal{A}$ および $D$ と可換であるため、非可約でない。これは古典的極限におけるスピンルーパー束の分解を反映している。
• シータ変形は主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドル構造を保存する：$M_\theta$ は $\theta$ の変形行列の右下ブロック $\theta'$ を用いて、$N_{\theta'}$ 上の主 $\mathbb{T}^{n}$-バンドルである。
• 変形されたスペクトル三重対 $(C^\infty(M_\theta), \mathcal{H}_\theta, D_\theta)$ は、コンネスの非可換多様体のための7つの公理をすべて満たす。
• 元の接続 $\omega$ が $D$ と整合するならば、$M_\theta$ 上の接続 $\omega_\theta = \omega \otimes 1$ は $D_\theta$ と整合する。これは変形下でも一貫性が保たれることを示している。