[論文レビュー] Dirac's Canonical Quantization Programme

Hans-Juergen Matschull|ArXiv.org|Jun 26, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、ゲージ固定を伴わずに、制約およびゲージ対称性を強調しつつ、ラグランジアンで定義された古典的理論を正準量子化するためのディラックの体系的プログラムを提示する。この方法を電磁場、相対論的点粒子、および初期のストリング理論に適用し、クライン=ゴルドン方程式を導出し、量子的質量が正規順序定数に依存することを明らかにする。物理的状態はゲージ不変な枠組みの中で観測可能代数の制約によって定義される。

ABSTRACT

This is a collection of lectures given at the University of Heidelberg, especially but not exclusively for people who want to learn something about the canonical approach to quantum gravity, which is however not included in these lectures. They are about Dirac's general method to construct a quantum theory out of a classical theory, which has to be defined in terms of a Lagrangian. The classical Hamiltonian formalism is reviewed, with emphasis on the relation between constraints and gauge symmetries, and quantization is carried out without any kind of gauge fixing. The method is applied to three examples: the free electro-magnetic field, the relativistic point particle, and the very first steps of string theory are carried out.

研究の動機と目的

• 制約およびゲージ対称性を有する古典的系に対するディラックの正準量子化プログラムの包括的解説を提供すること。
• 自由電磁場、相対論的点粒子、ストリング理論の初期段階という基本的物理系へのこの方法の応用を示すこと。
• ゲージ固定を伴わせずに、物理的状態および観測可能量を一貫して定義でき、明示的なゲージ不変性を保つこと。
• ストリング理論における中心座標運動のクライン=ゴルドン方程式を導出し、量子的質量が正規順序定数に依存することを特定すること。
• 制約の正準量子化を通じて、演算子順序付けの役割およびストリング理論における臨界次元の解明を行うこと。

提案手法

• ラグランジアンを用いて古典的理論を定式化し、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• $ p_i = \partial L / \partial v^i $ を用いて共役運動量を導入し、第二階微分方程式を位相空間 $ \mathcal{P} = T^*\mathcal{Q} $ 上の第一階ハミルトニアン形式に変換する。
• ヘッセ行列 $ \partial^2 L / \partial v^i \partial v^j $ が特異である場合に、主制約および補助制約を特定する。
• 制約を第一類（ゲージ変換を生成）または第二類（ディラック括弧を必要）に分類し、ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムを用いて処理する。
• 古典的ポisson括弧を交換関係に拡張し、ヒルベルト空間上の演算子方程式として制約を課すことにより、量子理論を構築する。
• 物理的状態をすべての第一類制約によって消える状態として定義し、ゴーストやゲージ固定条件を導入することなくゲージ不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約およびゲージ対称性を有する古典的ラグランジュ理論を、ゲージ固定を伴わず一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 第一類制約がゲージ変換を生成する役割を果たす仕組みは何か？ そして、それらが物理的状態空間をどのように制約するか？
• RQ3 ハミルトニアン制約における演算子順序付けが、ストリングの量子的質量スペクトルにどのように影響するか？
• RQ4 なぜストリング理論において物理的状態空間が正定値であるという要請から臨界次元 $ D = 26 $ が導かれるのか？
• RQ5 ストリングモデルにおける第一類制約から直接的に中心座標運動のクライン=ゴルドン方程式を導出できるか？

主な発見

• ストリングの重心座標の波動関数に対して、クライン=ゴルドン方程式 $ (\widehat{P}_\mu \widehat{P}^\mu + 8\pi\hbar N)\Phi(Q) = 0 $ が導出され、その量子的性質が示された。
• ストリングの基底状態は、質量の二乗 $ m^2 = 8\pi\hbar N $ を持つ点粒子として振る舞い、正規順序定数 $ N $ に明示的に依存する。
• $ v^\mu \widehat{a}_\mu(k) $ によって生成される状態のノルムは $ \pi\hbar k \, v^\mu v_\mu $ であり、$ v^\mu $ が時間的である場合には負になる可能性があり、正定値性の問題を示唆する。
• 物理的状態は、すべての第一類制約によって消える状態として定義され、ゴーストやゲージ固定条件を導入することなくゲージ不変性が保証される。
• 臨界次元 $ D = 26 $ は、物理的状態空間が正定値であることを保証する一貫性条件として現れ、$ N $ が負の値に固定されることで実現される。
• 本手法により、すべての制約がヒルベルト空間上の演算子方程式として課され、BRSTや他の補助的形式主義を導入する必要がない、明示的なゲージ不変性を有する量子化が得られる。