[論文レビュー] Dirac structures and reduction of optimal control problems with symmetries

Alberto Ibort, Thalía Rodríguez de la Peña+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リー群の対称性を有する最適制御問題を削減するためのディラック構造に基づく枠組みを導入し、変分原理の削減とポントレヤーギン最大原理の一次条件の削減が一致することを示している。ヨシムラとマルスデンのディラック削減を最適制御へ拡張し、マルティネスのリー代数束アプローチと統合し、ヘイゼンベルク群上の部分リーマン的測地線問題を具体例として提示している。ここで、削減された力学は明示的ならせん状の測地線を導く。

ABSTRACT

We discuss the use of Dirac structures to obtain a better understanding of the geometry of a class of optimal control problems and their reduction by symmetries. In particular we will show how to extend the reduction of Dirac structures recently proposed by Yoshimura and Marsden [Yo09] to describe the reduction of a class of optimal control problems with a Lie group of symmetry. We will prove that, as in the case of reduction of implicit Hamiltonian or Lagrangian systems, the reduction of the variational principle and the reduction of the Dirac structure describing the Pontryagin Maximum Principle first order differential conditions coincide. Moreover they will also reproduce E. Martínez Lie algebroids reduction approach [Mr04] to optimal control systems with symmetry. The geodesic subriemannian problem considered as an optimal control problem on the Heisenberg group, will be discussed as a simple example illustrating these results.

研究の動機と目的

• 対称性を有する最適制御問題の削減のための幾何学的枠組みを構築すること。
• ラグランジュ＝ポントレヤーギン変分原理の削減と、ポントレヤーギン最大原理を記述するディラック構造の削減が等価であることを確立すること。
• 対称的最適制御系におけるマルティネスのリー代数束削減アプローチと整合すること。
• ヘイゼンベルク群上の部分リーマン的測地線問題を通じて、この手法を具体化すること。

提案手法

• ポントレヤーギンバンドル M = T*P ×_P C におけるディラック構造を用いて、ポントレヤーギン最大原理の一次条件を記述する。
• ヨシムラとマルスデンのディラック削減理論を、リー群の余接バンドル上の標準的ディラック構造に適用する。
• 状態空間 P におけるリー群 G の作用により系を削減し、商空間 M/G ≃ g* × U を得る。
• λ に依存する双線形形式 ω/G_λ を用いて、V ⊕ V* 内の削減ディラック構造 [DG]_G(λ) ⊂ V ⊕ V* を導出する。ここで V = g ⊕ g* である。
• 制御変数を除去するために、一貫性条件 ∂HP/∂u^a = ∂h/∂u^a = 0 を課し、削減ハミルトニアン h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2 を得る。
• 削減されたリーポアソン系 ˙λ = ad*_{ξ(λ)}λ で、ξ(λ) = ∂h/∂λ を満たす系を解き、明示的な測地線解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適制御における変分原理の削減は、下位のディラック構造の削減と一致するか？
• RQ2 ヨシムラとマルスデンのディラック削減フレームワークは、対称性を有する最適制御問題へ拡張可能か？
• RQ3 削減されたディラック構造は、マルティネスの対称的最適制御系のリー代数束削減とどのように関係するか？
• RQ4 ヘイゼンベルク群上の部分リーマン的測地線問題における、削減された力学と解の明示的形は何か？

主な発見

• 対称的最適制御問題において、ラグランジュ＝ポントレヤーギン変分原理の削減と、ポントレヤーギン最大原理を記述するディラック構造の削減は等価である。
• 削減された系は条件 ([X]_G(λ), dh(λ)) ∈ [DG]_G(λ) を満たし、標準的な削減されたリーポアソン方程式を再現する。
• 削減ハミルトニアンは h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2 であり、一貫性条件 ∂h/∂u^a = 0 から導出される。
• 削減された系の解は λ₁ と λ₂ に関して周期的で、λ₃ は一定であり、λ₁(t) = cos(θ + kt), λ₂(t) = sin(θ + kt), λ₃(t) = k となる。
• ヘイゼンベルク群上の再構成された力学により、R³ における明示的測地線が得られる：x(t) = (1/k)sin(kt + θ) - (1/k)sinθ, y(t) = (1/k)cos(kt + θ) + (1/k)cosθ, z(t) = (1/k²)sin(kt) + t/k。
• 測地線は、(−sinθ/k, cosθ/k) を中心とする半径 1/k の円に投影され、部分リーマン的構造が確認される。