[論文レビュー] Direct Access for Answers to Conjunctive Queries with Aggregation

Idan Eldar, Nofar Carmeli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Data Management and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、集約を伴う結合的クエリの直接アクセスに関する二分岐を確立し、集約値が辞書式順序に含まれない限り、クエリの基本的構造が非巡回的かつ破壊的三つ組を含まない場合に限り、対数線形時間の事前処理と対数時間のランダムアクセスが可能であることを示している。標準的な集約（min, max, count, sum）は可換半体の注釈を用いて拡張可能であり、対数的ドメイン制約下でのcount-distinctに対しても同様に適用可能であり、集約値が順序に含まれる場合の洗練された tractability 条件が得られる。

ABSTRACT

We study the fine-grained complexity of conjunctive queries with grouping and aggregation. For some common aggregate functions (e.g., min, max, count, sum), such a query can be phrased as an ordinary conjunctive query over a database annotated with a suitable commutative semiring. Specifically, we investigate the ability to evaluate such queries by constructing in log-linear time a data structure that provides logarithmic-time direct access to the answers ordered by a given lexicographic order. This task is nontrivial since the number of answers might be larger than log-linear in the size of the input, and so, the data structure needs to provide a compact representation of the space of answers. In the absence of aggregation and annotation, past research provides a sufficient tractability condition on queries and orders. For queries without self-joins, this condition is not just sufficient, but also necessary (under conventional lower-bound assumptions in fine-grained complexity). We show that all past results continue to hold for annotated databases, assuming that the annotation itself is not part of the lexicographic order. On the other hand, we show infeasibility for the case of count-distinct that does not have any efficient representation as a commutative semiring. We then investigate the ability to include the aggregate and annotation outcome in the lexicographic order. Among the hardness results, standing out as tractable is the case of a semiring with an idempotent addition, such as those of min and max. Notably, this case captures also count-distinct over a logarithmic-size domain.

研究の動機と目的

• 結合的クエリに集約を適用する場合、対数線形時間の事前処理と対数時間のアクセス時間で直接アクセスが可能となる条件を特定すること。
• 単純な結合的クエリに対する既存の tractability 結果を、min, max, count, sum などの一般的な集約関数を含む場合に拡張すること。
• 集約値を答えの辞書式順序に含めることによる複雑性の増加を分析すること。
• 特に加法が冪等である（例：min, max, count-distinct）場合に、直接アクセスの複雑性に与える影響を、可換半体による注釈を用いて分析すること。
• 半体注釈付きクエリへの還元とそれに続くクエリ構造の分析を通じて、直接アクセスにおける集約処理の一般枠組みを確立すること。

提案手法

• 可換半体を用いて集約クエリを半体注釈付きデータベース上の結合的クエリとして表現する（例：min に対しては (N, min, +)、max に対しては (N, max, +)、sum に対しては (N, +, ×)、count-distinct に対しては (N, ∨, ∧)）。
• Rcarry-脱注釈という概念を導入し、注釈を除去した後の自由変数構造を分離することで、クエリの基本的構造の分析を可能にする。
• 集約値が順序に含まれないという仮定の下で、単純な結合的クエリにおける既知の直接アクセスの二分岐（非巡回的かつ破壊的三つ組なし）を脱注釈クエリに適用する。
• 集約値が辞書式順序に含まれる場合に、より厳格な構造的制約を必要とする新たな tractability 条件を確立する。
• 非巡回的または破壊的三つ組を含むクエリについて、HYPERCLIQUE および SparseBMM の仮説を用いて、同じ仮定下で不 tractability を証明する。
• 加法が冪等である半体（例：min, max, count-distinct）に対しては、Rcarry-脱注釈クエリの構造を分析し、洗練された二分岐を適用することで結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的クエリに集約を適用する場合、どのような条件下で対数線形時間の事前処理と対数時間のアクセス時間で直接アクセスが可能となるか？
• RQ2 集約値を辞書式順序に含めることにより、直接アクセスの tractability にどのような影響が生じるか？
• RQ3 単純な結合的クエリの tractability 二分岐を、半体注釈を用いて集約を含むクエリへ拡張可能か？
• RQ4 加法が冪等である可換半体（例：min, max, count-distinct）を用いる場合、直接アクセスの複雑性にどのような影響が生じるか？
• RQ5 特に非巡回性と破壊的三つ組の不在というクエリ構造が、集約を含む場合の直接アクセスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 標準的な集約（min, max, count, sum）に関しては、集約値が順序に含まれない限り、直接アクセスが ⟨loglinear, log⟩ に属するための必要十分条件は、クエリの自由変数射影が非巡回的かつ破壊的三つ組を含まないことである。
• count-distinct 集約は、同じ二分岐に従って処理可能であるが、カウント対象の属性が対数的ドメインに属し、かつ辞書式順序の最後に自由変数として扱われる場合に限る。
• 集約値が辞書式順序に含まれる場合、tractability 条件は著しく制限され、効率性を達成するためには、より狭い新たな条件が必要となる。
• 加法が冪等である半体（例：min, max, count-distinct）に対しては、直接アクセスの二分岐は Rcarry-脱注釈クエリの分析に帰着され、同じ非巡回性および破壊的三つ組なしの条件が適用される。
• 非巡回的または破壊的三つ組を含むクエリについては、HYPERCLIQUE および SparseBMM の仮説の下で、集約が存在しても不 tractability が証明される。
• 自己結合クエリに対しても、まず関係記号の名前を変更・コピーすることで自己結合を除去し、 tractability に関連する構造的性質を保持することで、結果を一般化できる。