[論文レビュー] Direct and inverse problems for the nonlinear time-harmonic Maxwell equations in Kerr-type media

Yernat M. Assylbekov, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 30被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、時間調和電磁場の境界測定から、Kerr型媒質における電磁的物性パラメータ（誘電率、透磁率）および非線形感受率係数（a, b）の一意的回復を確立する。非線形時間調和Maxwell系にKerr非線形性を適用し、複素幾何学的オプティクス解と単純な多様体上の減衰付きレイトラランスフォームを用いて、直接問題の適切性と逆問題における一意性（Dirichlet対Neumann写像を介して）を証明する。

ABSTRACT

In the current paper we consider an inverse boundary value problem of electromagnetism in a nonlinear Kerr medium. We show the unique determination of the electromagnetic material parameters and the nonlinear susceptibility parameters of the medium by making electromagnetic measurements on the boundary. We are interested in the case of the time-harmonic Maxwell equations.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体（境界付き）上におけるKerr型媒質における非線形時間調和Maxwell方程式の直接問題の適切性を確立すること。
• 境界測定値から電磁的物性パラメータおよび非線形感受率を同定する逆境界値問題を調査すること。
• Dirichlet対Neumann写像から、複素誘電率 ε、透磁率 μ、および非線形係数 a, b の一意的同定を証明すること。
• 微分幾何学およびPDE理論の高度な道具を用いて、電磁気学における線形から非線形の逆問題に結果を拡張すること。

提案手法

• Kerr型非線形性を有する時間調和Maxwell方程式を定式化：*dE = iωμH + iωb|H|²H および *dH = -iωεE - iωa|E|²E。
• 境界条件を ∂M 上の接ベクトル成分のトレースを用いて、Sobolev空間 W^{1,p}_{Div} およびトレース空間 TW^{1-1/p,p}_{Div} で定義する。
• 線形化系に複素幾何学的オプティクス（CGO）解を適用し、非線形パラメータをプローブする。
• 逆問題を、2次元の単純な多様体上での定数減衰 -2λ を有する減衰付き測地線レイトラランスフォームの単射性に還元する。
• フーリエ変換の単射性および減衰付きレイトラランスフォームの単射性を用いて、f = h = 0 を示し、a₁ = a₂ および b₁ = b₂ を得る。
• 線形Maxwell方程式の正則性理論（定理A.1）に依拠し、逆問題解析に適切なSobolev空間内に解が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kerr型媒質における電磁的物性パラメータ（ε, μ）および非線形感受率係数（a, b）は、境界測定値から一意に同定可能か？
• RQ2 Sobolev空間における小さな境界データに対して、非線形時間調和Maxwell方程式の直接問題は適切か？
• RQ3 Dirichlet対Neumann写像は、Kerr非線形性における非線形パラメータ a および b を一意に決定可能か？
• RQ4 減衰付きレイトラランスフォームの単射性は、境界データから非線形係数を回復するために用いられるか？
• RQ5 一意性および解の存在を保証するための、ε, μ, a, b および境界データの正則性条件は何か？

主な発見

• 境界データが W^{1,p}_{Div}(M) に属する小さな値である場合、非線形時間調和Maxwell方程式の直接問題は、3 < p ≤ 6 に対して適切である。
• すべての ω が離散的な共振周波数の集合に属さない限り、十分に小さな境界データに対して、W^{1,p}_{Div}(M) × W^{1,p}_{Div}(M) 内に一意の解 (E, H) が存在する。
• 物性パラメータ ε および μ が既知であれば、非線形感受率係数 a および b はDirichlet対Neumann写像によって一意に決定可能である。
• 証明は、2次元の単純な多様体上での定数減衰 -2λ を有する減衰付き測地線レイトラランスフォームの単射性に依拠する。
• 複素周波数パラメータ λ を変化させ、フーリエ変換の単射性を用いることで、著者らは境界データが全非線形係数を決定することを示した。
• 媒質が滑らかな境界を有するコンパクトな3次元リーマン多様体であり、非線形性がKerr型であるという仮定の下で、逆問題は一意に解ける。