[論文レビュー] Direct and inverse scattering at fixed energy for massless charged Dirac fields by Kerr-Newman-de Sitter black holes

Thierry Daudé, François Nicoleau|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、質量ゼロの電荷を帯びたディラック場が Kerr-Newman-de Sitter 黒色体時空において時間に依存する波作用素の存在および漸近的完全性を確立し、固定エネルギーにおける定常散乱行列と関連付ける。変数分離法および複素角運動量技術を用いて、単一のエネルギーにおける散乱行列からブラックホールの計量を一意に再構成できることを証明し、正の宇宙定数を有する回転・電荷を帯びたブラックホールの逆散乱問題を解く。

ABSTRACT

In this paper, we study the direct and inverse scattering theory at fixed energy for massless charged Dirac fields evolving in the exterior region of a Kerr-Newman-de Sitter black hole. In the first part, we establish the existence and asymptotic completeness of time-dependent wave operators associated to our Dirac fields. This leads to the definition of the time-dependent scattering operator that encodes the far-field behavior (with respect to a stationary observer) in the asymptotic regions of the black hole: the event and cosmological horizons. We also use the miraculous property (quoting Chandrasekhar) - that the Dirac equation can be separated into radial and angular ordinary differential equations - to make the link between the time-dependent scattering operator and its stationary counterpart. This leads to a nice expression of the scattering matrix at fixed energy in terms of stationary solutions of the system of separated equations. In a second part, we use this expression of the scattering matrix to study the uniqueness property in the associated inverse scattering problem at fixed energy. Using essentially the particular form of the angular equation (that can be solved explicitely by Frobenius method) and the Complex Angular Momentum technique on the radial equation, we are finally able to determine uniquely the metric of the black hole from the knowledge of the scattering matrix at a fixed energy.

研究の動機と目的

• Kerr-Newman-de Sitter 黒色体の外部領域における質量ゼロの電荷を帯びたディラック場の直接散乱理論を確立すること。
• ディラック方程式における変数分離法を用いて、時間に依存する散乱作用素とその定常的対応物を関連付けること。
• 固定エネルギーにおける逆散乱問題を解き、散乱行列からブラックホール計量を一意に特定すること。
• 球対称ブラックホール（例：Reissner-Nordström）における逆散乱結果を、宇宙定数を有する回転・電荷を帯びたブラックホールへと拡張すること。
• 固定エネルギーにおける散乱行列が、ブラックホール時空の完全な幾何構造を再構成するのに十分な情報を含むことを示すこと。

提案手法

• ボイヤー＝リンクトゥー座標系におけるディラック方程式の径数的および角的常微分方程式への分離を用いる。
• H-滑らか性法および波作用素理論を用いて、時間に依存する波作用素の存在および漸近的完全性を証明する。
• 分離された径数的および角的方程式の定常的解を用いて、固定エネルギーにおける散乱行列を構成する。
• 角方程式をフロベニウス法で明示的に解き、その特殊構造を活用する。
• 径数方程式に複素角運動量技術を適用し、スペクトル的情報を抽出する。
• 散乱行列の解析的構造を分析することで、逆問題の解の一意性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロの電荷を帯びたディラック場が Kerr-Newman-de Sitter 時空において、時間に依存する散乱作用素が構成可能であり、漸近的に完全であることが示せるか？
• RQ2 時間に依存する散乱作用素は、固定エネルギーにおける定常的散乱行列とどのように関係しているか？
• RQ3 固定エネルギーにおける散乱行列が、Kerr-Newman-de Sitter 黒色体のパラメータを一意に特定できるか？
• RQ4 角方程式の明示的可解性が、逆散乱手続きにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 複素角運動量法を径数方程式に適用することで、計量パラメータを回復するのにどの程度応用可能か？

主な発見

• 時間に依存する波作用素は存在し、漸近的に完全であるため、散乱作用素は適切に定義され、ユニタリであることが保証される。
• 固定エネルギーにおける散乱行列は、分離された径数的および角的方程式の解によって明示的に表現される。
• 角方程式はフロベニウス法により解けるため、スピン重み付き球状調和関数を表す明示的な特殊関数が得られる。
• 径数方程式に複素角運動量技術を適用することで、散乱データの解析的構造を一意に特定できる。
• 計量パラメータ（質量 $M$、電荷 $Q$、角運動量 $a$、宇宙定数 $ar{ ho}$）は、固定エネルギーにおける散乱行列から一意に再構成可能である。
• 固定エネルギーにおける逆散乱問題は、Kerr-Newman-de Sitter 黒色体に対して一意に解けることが示され、球対称の場合の既存結果が拡張された。