[論文レビュー] Direct and inverse scattering problems for the first-order discrete system associated with the derivative NLS system

Tuncay Aktosun, Ramazan Ercan|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、半離散的導関数NLS方程式に関連する一次離散系の直接的および逆散乱理論を構築する。境界状態の任意の多重度を扱える新しい行列三重項形式を導入し、一般化された離散Marchenko系と逆散乱変換を用いて明示的な閉形式解を得ることを可能にする。解は定数行列三重組に符号化されたスペクトルデータに基づいて表現される。

ABSTRACT

The direct and inverse scattering problems are analyzed for a first-order discrete system associated with the semi-discrete version of the derivative NLS system. The Jost solutions, the scattering coefficients, the bound-state dependency and norming constants are investigated and related to the corresponding quantities for two particular discrete linear systems associated with the semi-discrete version of the NLS system. The bound-state data set with any multiplicities is described in an elegant manner in terms of a pair of constant matrix triplets. Several methods are presented to the solve the inverse problem. One of these methods involves a discrete Marchenko system using as input the scattering data set consisting of the scattering coefficients and the bound-state information, and this method is presented in a way generalizable to other first-order systems both in the discrete and continuous cases for which a Marchenko system is not yet available. Finally, using the time-evolved scattering data set, the inverse scattering transform is applied on the corresponding semi-discrete derivative NLS system, and in the reflectionless case certain explicit solution formulas are presented in closed form expressed in terms of the two matrix triplets.

研究の動機と目的

• 半離散的導関数NLS方程式に関連する一次離散系の厳密な直接的および逆散乱理論を確立すること。
• 標準的な単純性の仮定を超えて、境界状態の扱いを一般化し、任意の多重度を許容すること。
• 散乱データを入力として用いる離散Marchenko系を用いて、逆散乱問題を体系的に解く方法を開発すること。
• 反射なしの場合の半離散的導関数NLS系に対して、行列三重組パrameter化を用いて明示的な閉形式解を導出すること。
• 左/右散乱データの分離や代替的系の定式化といった不要な複雑さを回避することで、既存の手法を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• スペクトルパラメータzを単位円上に持つ一次線形系を用いて、離散散乱問題を定式化する。
• Jost解、散乱係数、境界状態データを元の系(1.1)と関連付けるために、2つの補助的Ablowitz-Ladik型系(1.5)および(1.6)を導入する。
• 境界状態データを定数行列三重組(A, B, C)および(Ā, B̄, C̄)のペアとして表現することで、任意の多重度を持つ境界状態のコンactかつ一般的な記述が可能になる。
• 散乱係数およびノルム定数を入力として離散Marchenko系を構築し、ポテンシャルペア(q, r)の再構成が可能になるようにする。
• 時間発展した散乱データを用いた逆散乱変換を適用し、半離散的導関数NLS系の明示的解を導出する。
• Marchenkoカーネルや(A, B, C)および(Ā, B̄, C̄)を含む行列式を用いた、異なる逆解法パスを介して複数の明示的解の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半離散的導関数NLS方程式に関連する一次離散系の直接的および逆散乱問題を、どのように体系的に定式化できるか？
• RQ2 離散散乱系において、任意の多重度を持つ境界状態データを、最も一般的かつ洗練された方法で記述するにはどうすればよいか？
• RQ3 このような系クラスに対して、以前に存在しなかった場合でも、離散Marchenko系を構築し、解くことは可能か？
• RQ4 散乱データを用いて、半離散的導関数NLS方程式の明示的閉形式解をどのように導出できるか？
• RQ5 行列三重組は、このような系における逆散乱プロセスの統一と簡略化に、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、半離散的導関数NLS方程式に関連する一次離散系の直接的および逆散乱問題の完全で一般なフレームワークを提示する。
• 境界状態データは、任意の多重度を扱える定数行列三重組のペアによって洗練されて記述され、単一固有値の制限的仮定を回避できる。
• 散乱データを用いて、離散Marchenko系が成功裏に構築され、解かれた。これにより、離散的および連続的一次系における逆散乱の汎用的かつ一般化可能な手法が得られる。
• 反射なしの場合の半離散的導関数NLS系に対して、行列三重組(A, B, C)および(Ā, B̄, C̄)を用いて明示的な閉形式解が導出された。
• Marchenkoカーネル、時間発展したカーネル、および(A, B, C)および(Ā, B̄, C̄)を含む行列式を含む、複数の同等の解の式が導出された。
• 解の式は、K̄(p,s)nm = −C(p,s)An−1(I−A)−1( V̄(p,s)n )−1EAmB といった行列逆行列および積の形で明示的に与えられており、スペクトルデータからの完全な再構成可能性が示されている。