[論文レビュー] Direct image of logarithmic complexes and infinitesimal invariants of cycles

Morihiko Saito|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正則交叉特異点を持つ射影的準同型写像における対数 de Rham コンプレックスの直接像について、フィルター付き分解定理を確立し、それがホッジ構造の変動に関連するフィルター付き対数コンプレックスの直和に分解されることを示している。主な貢献は、これらのフィルター付きコンプレックスのコホロジーを通じて、代数的サイクルの全無限小不変量を自然に定義したことである。この不変量はサイクルのコホロジー類と同値であり、ホッジ理論における以前の不変量を一般化する。

ABSTRACT

We show that the direct image of the filtered logarithmic de Rham complex is a direct sum of filtered logarithmic complexes with coefficients in variations of Hodge structures, using a generalization of the decomposition theorem of Beilinson, Bernstein and Deligne to the case of filtered $D$-modules. The advantage of using the logarithmic complexes is that we have the strictness of the Hodge filtration by Deligne after taking the cohomology group in the projective case. As a corollary, we get the total infinitesimal invariant of a (higher) cycle in a direct sum of the cohomology of filtered logarithmic complexes with coefficients, and this is essentially equivalent to the cohomology class of the cycle.

研究の動機と目的

• ベイリニソン、バーナイン、デリーニの分解定理を、対数 de Rham コンプレックスの文脈におけるフィルター付き $D$-加群へ一般化すること。
• 射影的準同型写像 $f: X \to S$ と $Y = f^*D$ が正則交叉特異点を持つとき、フィルター付き対数 de Rham コンプレックスの直接像と、ホッジ構造の変動を係数にもつフィルター付き対数コンプレックスの直和との間に、自然な同型を確立すること。
• ホッジ構造の変動を係数にもつフィルター付き対数コンプレックスのコホロジーを用いて、代数幾何における高次サイクルの全無限小不変量を定義すること。
• これらの不変量がサイクルのコホロジー類と同値であり、ホッジ理論およびサイクル論における既存の結果を拡張すること。

提案手法

• 射影的準同型写像 $f: X \to S$ と $Y = f^*D$ が正則交叉特異点を持つとき、対数 de Rham コンプレックス $(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ の直接像 $\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ を、フィルター付き導来カテゴリを用いて分析すること。
• フィルター付き $D$-加群に対する一般化された分解定理を適用し、$\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ を $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ の直和に分解すること。ここで $M^i$ は正則正則的 $D$-加群である。
• 直接像複体に、分割可能な増大フィルター $L$ を構成し、その各階層が $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ と同型となるようにし、ホッジフィルターと整合性を持つようにすること。
• 局所系統のデリーニの拡張 $\widetilde{V}^i$ を用いて $\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^i)$ を定義し、これに自然なホッジフィルター $F^p$ を持たせること。
• コホロジー群 $\mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$ および $\mathbf{H}^i(S, \mathrm{Gr}_F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$ を用いて、全無限小不変量 $\delta_{S,D}(\xi)$ および $\overline{\delta}_{S,D}(\xi)$ を定義すること。
• 射影的状況下でホッジフィルターの厳密性がコホロジー後に保たれることを活用し、選択の独立性とwell-definednessを、下位の不変量が消える条件のもとで保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的準同型写像と正則交叉特異点を持つ場合、フィルター付き対数 de Rham コンプレックスの直接像はどのように分解可能か？
• RQ2 フィルター付き対数コンプレックスのコホロジーと代数的サイクルの無限小不変量の関係は何か？
• RQ3 ホッジ構造の変動を係数にもつフィルター付き対数コンプレックスを用いて、高次サイクルの全無限小不変量を自然に定義できるか？
• RQ4 分解定理における分割の選択に依存しない全無限小不変量が成り立つ条件は何か？
• RQ5 フィルター付き対数コンプレックスの枠組みにおいて、サイクルのコホロジー類とその無限小不変量の関係は何か？

主な発見

• 直接像 $\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ は、フィルター付き導来カテゴリにおいて、$\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ の直和へ非可換同型をもつ。また、その各階層は $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ と同型であり、自然である。
• $D$ が正則交叉特異点を持つ場合、$\mathrm{DR}(M^i)$ の代わりに $\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^i)$ を用いた分解が成り立ち、この結果はデリーニのホッジ構造の正則拡張と関連する。
• サイクル $\xi \in \mathrm{CH}^p(X\setminus Y, n)$ の全無限小不変量 $\delta_{S,D}(\xi)$ は $\bigoplus_{i \geq 0} \mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$ に属し、低次の不変量が消える限り、分割の選択に依存しない。
• $\overline{\delta}_{S,D}(\xi)$ は、ホッジフィルターの階層に従って定義され、同様にwell-definedであり、サイクルのコホロジー類と同値である。
• $S$ がシュタイン的またはアフィン的である場合、コホロジー群 $\mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^q))$ は複体 $\Gamma(S, \Omega_S^\bullet(\log D) \otimes F^{p-\bullet}\widetilde{V}^q)$ によって計算可能である。
• $s=1$ の場合、一般性仮定のもとで、$a=1,2$ のうちのいずれかについて $\delta_S^s(\xi_{a,\mathcal{X}}) \neq 0$ であることが示され、幾何的一般ファイバーにおけるサイクル類の非 torsion 性を示唆する。