[論文レビュー] Direct Methods and Symbolic Software for Conservation Laws of Nonlinear Equations

Willy Hereman, Paul Adams+3 more|ArXiv.org|Mar 1, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 82被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、非線形偏微分方程式（PDE）および微分差分方程式（DDE）における保存則の計算のための記号的アルゴリズムとソフトウェアを提示する。拡大対称性を用いて、未定係数による候補密度を構築し、変分法およびホモトピー作用素を用いて線形系を解き、Mathematica や Maple における効率的な計算を実装することで、KdV、Boussinesq、sine-Gordon、Toda格子などの系における可積分性解析およびパラメータ依存保存則の検出が可能になる。

ABSTRACT

We present direct methods and symbolic software for the computation of conservation laws of nonlinear partial differential equations (PDEs) and differential-difference equations (DDEs).The methods are applied to nonlinear PDEs in (1+1) dimensions with polynomial nonlinearities which include the Korteweg-de Vries (KdV), Boussinesq, and Drinfel'd-Sokolov-Wilson equations. An adaptation of the methods is applied to PDEs with transcendental nonlinearities. Examples include the sine-Gordon, sinh-Gordon, and Liouville equations. With respect to nonlinear DDEs, our methods are applied to Kac-van Moerbeke, Toda, and Ablowitz-Ladik lattices. To overcome the shortcomings of the undetermined coefficients method, we designed a new direct method which uses leading order analysis. That method is applied to discretizations of the KdV and modified KdV equations, and a combination thereof. Additional examples include lattices due to Bogoyavlenskii, Belov-Chaltikian, and Blaszak-Marciniak. The undetermined coefficient methods for PDEs and DDEs have been implemented in Mathematica. The code "TransPDEDensityFlux.m" computes densities and fluxes of systems of PDEs with or without transcendental nonlinearities. The code "DDEDensityFlux.m" does the same for polynomial nonlinear DDEs. Starting from the leading order terms, the new Maple library "discrete" computes densities and fluxes of nonlinear DDEs.

研究の動機と目的

• 非線形 PDE および DDE における多項式的および超越的保存則を計算する直接的でアルゴリズム的な手法の開発。
• 既存の記号的ツールの限界を克服し、保存則計算に向けた効率的でスケーラブルなソフトウェアの開発。
• 非線形系における保存則の階層の存在を通じた可積分性の検出を可能にする。
• 拡大不変性に依存しない、新規の一次項解析法を用いて DDE への記号的計算を拡張。
• 研究者が非線形モデルの物理的および数学的性質を分析できるように、オープンソースのソフトウェアツールを提供すること。

提案手法

• 非線形 PDE および DDE のスケーリング不変性を特定するため、拡大対称性解析を適用する。
• 未定係数を含むスケーリング不変単項式の線形結合として、候補となる保存密度を構築する。
• 連続的変分導関数（Euler 演算子）を用いて、係数に関する線形系を導出し、非線形性の種類に応じて代数系または ODE 系を解く。
• 連続的ホモトピー作用素を用いて、部分積分により全微分作用素の逆をアルゴリズム的に計算することで、フラックスを効率的に算出する。
• DDE への適用のために、恒等作用素の分割と、一次項の計算に基づく新規な「分割統治」戦略を用いて、手法を適応させる。
• アルゴリズムを Mathematica（TransPDEDensityFlux.m、DDEDensityFlux.m）および Maple（discrete ライブラリ）に実装し、自動計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 PDE に対して、多項式的および超越的非線形性を有する場合に、記号的計算を用いて保存則を体系的かつどのように計算できるか。
• RQ2 拡大対称性は、非線形 PDE および DDE における候補保存密度の構築において、果たす役割は何か。
• RQ3 ホモトピー作用素は、PDE および DDE における保存則の文脈で、フラックスをどのように効率的に計算できるか。
• RQ4 従来の離散的 Eular 演算子およびホモトピー作用素は DDE においてどのような限界を有するのか。それらはどのように克服できるか。
• RQ5 未定係数および拡大不変性に依存しない、非多項式的保存則を効率的に計算できる、DDE 用の新規な手法を開発できるか。

主な発見

• 本手法は、KdV、Boussinesq、Drinfel’d-Sokolov-Wilson、sine-Gordon、sinh-Gordon、Liouville 方程式を含む古典的 PDE に対し、保存則を効果的に計算できた。
• 超越的非線形性を有する PDE に対しては、未定係数関数の代数方程式系と ODE 系の混合系を解くことで、保存則が計算された。
• 連続的ホモトピー作用素により、部分積分による全微分作用素の逆操作をアルゴリズム的に実行することで、明示的なフラックス計算が可能になった。
• DDE に対しては、Kac-van Moerbeke、Toda、Ablowitz-Ladik 格子などの多項式系において、未定係数法が有効に機能した。
• DDE における新規の一次項法は、不要な項の生成を回避し、拡大不変性や多項式性を必要とせず、保存密度を効率的に計算できる。
• Mathematica 用のソフトウェアツール TransPDEDensityFlux.m および DDEDensityFlux.m、および Maple の discrete ライブラリは、公開されており、パラメータ依存保存則の検出をサポートしている。