[論文レビュー] Direct proofs of the Feigin-Fuchs character formula for unitary representations of the Virasoro algebra

Antony Wassermann|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Goddard–Kent–Oliveのコセット構成と一次場を用いて、中心指数 $ c = 1 $ におけるVirasoro代数のユニタリ表現に対するFeigin–Fuchsの特徴関数公式の直接的証明を提供する。アフィン $ \widehat{su}(2) $ 表現における多重度空間の非可約性を確立し、Goldstoneの特異ベクトル公式を確認するとともに、Jantzen層構造に基づく新しい証明を提示し、$ 0 < c < 1 $ の離散系列へ一般化可能である。

ABSTRACT

Previously we gave a proof of the Feigin--Fuchs character formula for the irreducible unitary discrete series of the Virasoro algebra with 02. In this paper we consider the same problem in the limiting case of the coset construction c=1. Using primary fields, we directly establish that the Virasoro algebra acts irreducibly on the multiplicity spaces of irreducible representations of SU(2) in the two level one irreducible representations of the corresponding affine Kac--Moody algebra. This gives a direct proof that the only singular vectors in these representations are those given by Goldstone's formulas, which also play an important part in the proof. For this proof, the theory is developed from scratch in a self-contained semi-expository way. Using the Jantzen filtration and the Kac determinant formula, we give an additional independent proof for the case c=1 which generalises to the case 0

研究の動機と目的

• 非ユニタリ表現や特異ベクトルの計算に依存せずに、Virasoro代数の $ c = 1 $ におけるFeigin–Fuchs特徴関数公式の直接的かつ自己完結的な証明を提供すること。
• Goddard–Kent–Oliveのコセット構成を用いて、レベル1における $ \widehat{su}(2) $ 表現における多重度空間のVirasoro作用の下での非可約性を確立すること。
• 関連する表現における唯一の特異ベクトルがGoldstoneの公式で予測されたものであることを確認すること。
• $ 0 < c < 1 $ へ一般化可能な、Jantzen層構造法を $ c = 1 $ に適用し、Astashkevichの手法とは独立した証明を与えること。

提案手法

• Goddard–Kent–Oliveのコセット構成を用いて、振動子表現を介してVirasoro代数の正エネルギーのユニタリ表現を構成する。
• 一次場および平坦接続を持つ複素ベクトル束の理論を応用し、$ \widehat{su}(2) $ 表現における多重度空間を分析する。
• Jantzen層構造とKacの行列式公式を用いて、特異ベクトルを分析し、$ c = 1 $ の場合における非可約性を証明する。
• Shapovalov形式とFriedan–Qiu–Shenkerのユニタリ性基準を用いて、$ c = 1 $ における許容される最高重量 $ h $ を制限する。
• トーラス上の複素解析および $ L^2 $ ソボレフ空間の技術を用いて、非同次 $ \overline{\partial} $-方程式の解の存在を保証し、平坦接続の構成を支援する。
• 円板上での $ \partial_{\overline{z}} + A $ と $ \partial_z + B $ の可換性を用いて平行移動写像と逆可換な遷移関数を構成し、単位円板上の複素ベクトル束が自明であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feigin–Fuchs特徴関数公式（$ c = 1 $）は、非ユニタリ表現や特異ベクトルの計算に依存せずに直接証明可能か？
• RQ2 レベル1における $ \widehat{su}(2) $ のコセット構成における多重度空間は、Virasoro作用の下で非可約か？
• RQ3 表現 $ L(1, j^2) $ における唯一の特異ベクトルは、Goldstoneの公式で与えられるものか？
• RQ4 Jantzen層構造法を用いて、$ c = 1 $ における特徴関数公式の独立的証明が可能か？また、$ 0 < c < 1 $ へ一般化可能か？

主な発見

• コセット構成における $ \widehat{su}(2) $ レベル1の多重度空間は、Virasoro代数作用の下で非可約であり、$ L(1, j^2) $ の特徴関数公式の確認がなされた。
• 表現 $ L(1, j^2) $ における唯一の特異ベクトルは、一次場の分析によりGoldstoneの公式で与えられるものであることが確認された。
• Jantzen層構造法は、$ c = 1 $ における特徴関数公式の新しい独立的証明を提供し、$ 0 < c < 1 $ の離散系列へ一般化可能である。
• 単位円板上における非同次 $ \overline{\partial} $-方程式の解の存在は、複素ベクトル束の自明性を保証し、平坦接続および平行移動の構成を支援する。
• Shapovalov形式は $ c = 1 $ における $ L(c,h) $ で正定値であり、Friedan–Qiu–Shenkerの基準により表現のユニタリ性が確認された。
• 特徴関数公式 $ \chi_{L(1,j^2)}(q) = q^{j^2} \prod_{n \geq 1} (1 - q^n)^{-1} $ が導出され、Feigin–Fuchsの積分公式と整合的である。