[論文レビュー] Directed animals, quadratic and rewriting systems

Jean‐François Marckert|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、正方形格子上の有向アーティファクトの生成関数（面積と周囲長を数える）と2次行列方程式系との間の深い代数的関係を確立する。生成関数が、テンソル積を含む書き換え系の不動点として現れる無限行列の固有ベクトルから導かれるという強力な証拠を提示し、この長年の組合せ論的問題を解くための新規な代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

A directed animal is a percolation cluster in the directed site percolation model. The aim of this paper is to exhibit a strong relation between the problem of computing the generating function $\G$ of directed animals on the square lattice, counted according to the area and the perimeter, and the problem of solving a system of quadratic equations involving unknown matrices. We present some solid evidence that some infinite explicit matrices, the fixed points of a rewriting like system are the natural solutions to this system of equations: some strong evidence is given that the problem of finding $\G$ reduces to the problem of finding an eigenvector to an explicit infinite matrix. Similar properties are shown for other combinatorial questions concerning directed animals, and for different lattices.

研究の動機と目的

• 正方形格子上の有向アーティファクトの生成関数と2次行列方程式系との間の正式な関係を確立すること。
• テンソル積を用いた書き換え系の不動点として定義される無限行列が、この行列系の自然な解を提供するかどうかを調査すること。
• 生成関数の計算が、これらの無限行列の左および右固有ベクトルを求める問題に還元されることを示すこと。
• この枠組みを他の格子や組合せ的モデル（例えば、二色有向アーティファクトや浸透クラスタ）に拡張すること。
• 有向アーティファクトの列挙に対する新しい代数的アプローチを提供し、生成関数の計算を可能にする可能性を示すこと。

提案手法

• 源 S を持つグラフ G 上の有向アーティファクトの生成関数 GF_S^G(x,y) を、面積と周囲長を数えるものとして形式化する。
• 有向アーティファクトの再帰的分解から導かれる未知の有限行列を含む2次方程式系を用いて問題をモデル化する。
• テンソル積に基づく書き換え系を導入し、無限サイズの行列を生成し、それらが不動点解の候補となるようにする。
• 確率的ガスモデルと条件付き期待値を用いて生成関数の式を導出し、それらを行列積やトレースと結びつける。
• 補題11を適用して、格子線上の測度を行列積で表現し、行列収束を用いた解の構成を可能にする。
• 色依存遷移を持つ3状態ガスモデルを導入することで、二色モデルに拡張し、良い色分け有向アーティファクトとの関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方形格子上の有向アーティファクトの面積および周囲長の生成関数は、2次行列方程式系の解として表現可能か？
• RQ2 テンソル積を含む書き換え系の不動点として構成される無限行列は、この行列系の自然な解として機能するか？
• RQ3 これらの無限行列の左および右固有ベクトルから生成関数を回復可能か？
• RQ4 この代数的枠組みは、他の格子や組合せ的構造（例えば、二色有向アーティファクト）に一般化可能か？
• RQ5 色依存遷移を持つ3状態ガスモデルは、良い色分け有向アーティファクトの生成関数に対して扱いやすい表現を提供するか？

主な発見

• 正方形格子上の有向アーティファクトの生成関数 GF_S^G(x,y) が、特定の無限行列系の固有ベクトルを求める問題に還元可能であることが示された。
• 書き換え系の不動点として現れる無限行列が、生成関数を記述する2次行列方程式の自然な解であるという強力な証拠が提示された。
• この手法は、シリンダーライクな格子や二色有向アーティファクトを含む他の格子や組合せ的モデルへも成功裏に拡張された。
• 二色モデルでは、生成関数 GF_{S1,S2}(-p1,-p2) が3状態ガスモデルにおける同時確率として表現され、組合せ論と統計力学の間の接点を示した。
• 状態 {0,1,2} のガスモデルは線上でマルコフ的でないが、既知のマルコフ的投影を用いて周辺分布が計算可能であり、重要な確率の間接的計算が可能となった。
• この枠組みは、類似問題に普遍的に適用可能であり、格子線上の測度の行列表現が、行列 V^x_(κ) と H^x_(κ) の積を含むトレース式によって構成された。