[論文レビュー] Directed percolation and directed animals

Deepak Dhar|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Cellular Automata and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は物理学者の視点から、指向的永続（directed percolation）と指向的動物（directed animals）の包括的な導入を提供し、それらがヤン＝リー端臨界（Yang-Lee edge singularities）と同等であることを確立するとともに、森林火災モデルのような確率的過程と関連づけている。局所的で非平衡的なダイナミクス（例えば、Grassberger-Zhangモデル）が、パrameterの微調整なしに自己組織的臨界性（self-organized criticality）を生じさせることを示し、確率的セルオートマトンと量子スピンチェーンの類似性を通じて普遍的な臨界行動を明らかにしている。

ABSTRACT

These lectures provide an introduction to the directed percolation and directed animals problems, from a physicist's point of view. The probabilistic cellular automaton formulation of directed percolation is introduced. The planar duality of the diode-resistor-insulator percolation problem in two dimensions, and relation of the directed percolation to undirected first passage percolation problem are described. Equivalence of the $d$-dimensional directed animals problem to $(d-1)$-dimensional Yang-Lee edge-singularity problem is established. Self-organized critical formulation of the percolation problem, which does not involve any fine-tuning of coupling constants to get critical behavior is briefly discussed.

研究の動機と目的

• 統計物理学における基本的モデルとしての指向的永続と指向的動物の導入を目的とし、それらの確率的過程や相転移への関連性を強調する。
• d次元の指向的動物と(d−1)次元のヤン＝リー端臨界の間の同等性を確立し、臨界現象と結びつける。
• 局所的で確率的な発展則（例：Grassberger-Zhangモデル）が、制御パrameterの微調整なしに自己組織的臨界性を生じさせることを示す。
• マスター方程式の形式を用いて指向的永続と量子スピンチェーンとの関係を探索し、確率的系に量子力学的洞察を応用可能にする。

提案手法

• 離散時間、局所的ルール、隣接セルの状態に基づく遷移を特徴とする確率的セルオートマトンモデルを用いて指向的永続を定式化（例：Domany-Kinzelモデル）。
• 状態として緑（0）、燃焼中（1）、灰（2）を定義し、火災がr個の燃焼中隣接セルを持つ確率1−q^rで広がるマルコフ過程として森林火災過程をモデル化する。
• 系の確率分布を記述する連続時間のマスター方程式を導入し、ハミルトニアン行列W_CC′を用いたシュレーディンガー型方程式に写像する。
• 実数変数x(i,t)を用いたGrassberger-Zhang構成を適用し、局所的なmax-minルールと確率的入力η(i,t)を用いて自己組織的臨界性を達成する。
• 変換y(i,t) = 1（x(i,t) ≤ pのとき）、0（それ以外）を用いてx過程を湿潤確率P_DP(p,T)を持つ指向的サイト永続過程に写像する。
• 隣接セルのmax(y(j,t), x_ij)のminを用いてy(i,t)を定義することで、非有向永続の類似を分析し、y値が非増加であり、固定点に収束することを保証し、無限大クラスタ分率と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指向的永続を、局所的かつ並列的な更新ルールを持つ確率的セルオートマトンとしてどのように定式化できるか？
• RQ2 d次元における指向的動物と(d−1)次元のヤン＝リー端臨界との関係は何か？
• RQ3 局所的で確率的な力学系が、制御パrameterの微調整なしに自己組織的臨界性を達成できるか？
• RQ4 界面成長モデルにおける界面粗さとバーストサイズ分布は、指向的永続の指数とどのように関係するか？
• RQ5 平衡統計モデルに局所的確率的ダイナミクスを導入することで、十分に長い時間経過後に自然に臨界点に到達できるか？

主な発見

• d次元の指向的動物問題は、数学的に(d−1)次元のヤン＝リー端臨界問題と同等であり、組合せ論と臨界現象との間の深い関係を示している。
• Grassberger-Zhangモデルは、局所的で確率的なルールにより自己組織的臨界性を達成する。x(i,t)の分布は、時間Tにおける指向的永続の湿潤確率P_DP(p,T)に収束する。
• 自己組織的指向的永続モデルにおいて、界面は非自明な粗さ指数を示し、バーストサイズ分布は臨界系の特徴であるべきべき型尾を示す。
• 非有向永続においても、同様の局所的確率的ルールを結合強度x_ijに適用すると、固定点y*(i)が得られ、その生存確率Prob(y* ≥ z)は、結合濃度zにおける無限大クラスタ分率に等しい。
• 系の確率分布のマスター方程式は、ハミルトニアン行列W_CC′を用いたシュレーディンガー方程式に写像可能であり、確率的ダイナミクスに量子スピンチェーンの技法を応用可能にする。
• 再生を伴う森林火災モデルで、1次元でも非自明な相転移を示す。数値的に正確な臨界指数が得られているが、まだ正確な解は存在しない。