[論文レビュー] Directed random graphs with given degree distributions

Ningyuan Chen, Mariana Olvera‐Cravioto|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Gene expression and cancer classification被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、指定された入次数および出次数分布を持つ単純な有向ランダムグラフを生成する手法を提案する。入次数および出次数の和が等しくなるように、ほぼi.i.d.な次数列を構築し、その後有向配置モデルを適用する。有限分散の条件下で、単純グラフが得られる確率が0から一様に離れていることを証明し、単純性の条件下で、次数分布の経験的分布がグラフサイズの増大に伴い、目標分布に収束することを示す。

ABSTRACT

Given two distributions F and G on the nonnegative integers we propose an algorithm to construct in- and out-degree sequences from samples of i.i.d. observations from F and G, respectively, that with high probability will be graphical, that is, from which a simple directed graph can be drawn. We then analyze a directed version of the configuration model and show that, provided that F and G have finite variance, the probability of obtaining a simple graph is bounded away from zero as the number of nodes grows. We show that conditional on the resulting graph being simple, the in- and out-degree distributions are (approximately) F and G for large size graphs. Moreover, when the degree distributions have only finite mean we show that the elimination of self-loops and multiple edges does not significantly change the degree distributions in the resulting simple graph.

研究の動機と目的

• 所望の入次数および出次数分布を持つ単純な有向ランダムグラフを生成する手法を開発すること。
• 入次数および出次数列の和をバランスさせることで、それらが高確率で図形的（グラフィカル）であることを保証するとともに、i.i.d.サンプリングの性質を維持すること。
• 有向配置モデルの分析を行い、得られる単純グラフが漸近的に目標次数分布を保持することを示すこと。
• 自己ループおよび多重辺を除去した後でも、次数分布が概ね変わらない条件を確立すること。

提案手法

• 目標分布FおよびGからi.i.d.にサンプリングした入次数および出次数列を構築し、残差バランシング手法を用いてその和が等しくなるように調整する。
• 入スタブと出スタブをランダムにペアリングすることで、有向エッジを形成する有向配置モデルを適用する。
• 拒否サンプリング法またはエッジ削除手順を用いて自己ループおよび多重辺を除去し、最終的なグラフが単純であることを保証する。
• FおよびGが有限分散を持つ場合、単純グラフが得られる確率がn → ∞の下で0から一様に離れていることを証明する。
• 集中不等式および条件付き確率の上限を用いて、エッジ削除が次数分布に与える影響を分析する。
• 強大数法則、有界収束、ファトウの補題などの確率論的道具を用いて、経験的次数分布の漸近的収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所望の入次数および出次数分布を持つ単純な有向ランダムグラフを、実行可能でスケーラブルなアルゴリズムで生成できるか？
• RQ2 ノード数が増加する際、ランダムペアリングによって単純グラフが得られる確率が0から一様に離れる条件は何か？
• RQ3 自己ループおよび多重辺の除去が、最終的なグラフの入次数および出次数分布に顕著に影響を与えるか？
• RQ4 得られた単純グラフにおける経験的入次数および出次数分布は、目標分布FおよびGにどの程度近いか？

主な発見

• 入次数分布Fおよび出次数分布Gが有限分散を持つ場合、有向配置モデルによる単純グラフの生成確率は、n → ∞の下で0から一様に離れている。
• グラフが単純であるという条件下で、ノード数の増大に伴い、経験的入次数および出次数分布はほとんど確実に目標分布FおよびGに収束する。
• 有限平均が仮定される場合でも、エッジ削除後の最終単純グラフにおける次数分布は概ね変わらず、ノードの次数が1以上変化する確率はnの増加に伴い消える。
• 入次数および出次数の和をバランスさせることで、構築された次数列が高確率で図形的であることを保証し、ほぼi.i.i.d.なサンプリング特性を維持する。
• ファトウの補題および集中不等式の使用を含む確率的境界を用いて、経験的次数分布が目標分布に収束することを確立する。