[論文レビュー] Directional derivatives and subdifferentials of set-valued convex functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、閉凸集合の空間における剰余演算を用いて、集合値凸関数のための新しい方向微分と部分微分を導入し、集合値のmax-公式を可能にするとともに、集合値の目的関数を伴う凸最適化問題の解を特徴づける。この手法は、順序錐に制限的な仮定を課さないことで、古典的凸解析を一般化し、不適切な拡張実数値関数に対しても適用可能である。

ABSTRACT

A new directional derivative and a new subdifferential for set-valued convex functions are constructed, and a set-valued version of the so-called 'max-formula' is proven. The new concepts are used to characterize solutions of convex optimization problems with a set-valued objective. As a major tool, a residuation operation is used which acts in a space of closed convex, but not necessarily bounded subsets of a topological linear space. The residuation serves as a substitute for the inverse addition and is intimately related to the Minkowski or geometric difference of convex sets. The results, when specialized, even extend those for extended real-valued convex functions since the improper case is included.

研究の動機と目的

• 既存の手法に制限がある問題を克服する、集合値凸関数のための新しい方向微分と部分微分の理論を構築すること。
• 方向微分と部分微分を結びつける、スカラー凸解析に類似した集合値版のmax-公式を確立すること。
• 新しい微分概念を用いて、集合値の目的関数を伴う凸最適化問題の解を特徴づけること。
• 指標錐が鋭いか生成的である必要がないという制限のない条件下で、古典的凸解析の結果を集合値設定に一般化すること。
• 一般化された平行移動を用いて解集合を単一要素に還元可能な、集合値最適化のための解概念を提供すること。

提案手法

• 位相線形空間の閉凸部分集合の空間に剰余演算を導入し、ベクトル差の代わりに用い、差分商の定義を可能にする。
• 剰余に基づく増分概念を用いて、集合値凸関数の方向微分と部分微分を定義し、古典的微分概念を一般化する。
• 双対変数として、連続線形汎関数のペアによって生成される単純な集合値関数を用い、作用素値双対を必要としない。
• 凸集合のミンコフスキー（幾何的）差を、剰余の特別な場合として特定し、既存の集合論的演算と新しい接続を確立する。
• 集合値最適化に理論を適用するため、各 $x$ に対して $f(x + m)$ の下界を $m \in M$ でとる関数 $\hat{f}(\cdot; M)$ を導入し、$M$ をその凸包に置き換えたときの凸性を証明する。
• 方向微分と部分微分を用いて、下界点を特徴づける条件 $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$ を提示し、解の存在を部分微分包含と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なベクトル差が利用できない状況において、集合値凸関数のための方向微分と部分微分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 鋭いか生成的でない順序錐が存在する状況でも、方向微分と部分微分を結びつける集合値版のmax-公式を確立できるか？
• RQ3 集合値の目的関数を伴う凸最適化問題の適切な解概念とは何か？ そして、新しい微分概念を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 剰余演算はミンコフスキー差とどのように関係しているか？ また、集合値解析の基礎的道具として機能できるか？
• RQ5 一般化された平行移動を用いて、集合値最適化における解集合を単一要素に還元できる条件は何か？

主な発見

• 閉凸集合の空間における剰余演算は、ベクトル差の代替として明確に定義されており、差分商の構成とその極限（方向微分）を可能にする。
• 新しいmax-公式を証明した：適切な凸集合値関数に対して、点における方向微分は部分微分のサポート関数に等しく、スカラーの場合に一般化される。
• 集合値凸関数 $f$ に対する下界点 $M$ が存在するための必要十分条件は、$\hat{f}(0; M) = \hat{f}(0; \mathrm{co}\,M)$ かつ $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$ であり、部分微分を用いた完全な特徴づけが得られる。
• 理論は不適切な場合（例：拡張実数値関数）にも適用可能であり、鋭さ、正規性、順序錐の空でない内部といった制限的な仮定を必要としない。
• 関数 $\hat{f}(\cdot; M)$ は、$M$ をその凸包に置き換えたとき、$f$ における下界畳み込みとして定義され、凸性を示す。これにより、凸解析の道具が利用可能になる。
• 走査例では、$M = \{(0,0), (1,0), (0,1)\}$ が $f$ の下界点であり、すべての $w \in C^{-} \setminus \{0\}$ に対して $w_1 = w_2$ を満たす $w$ に対して方向微分の条件が成立し、理論的特徴づけが確認される。