[論文レビュー] Dirichlet Duality and the Nonlinear Dirichlet Problem on Riemannian Manifolds

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Geometry and complex manifolds被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、2次ジェットバンドル上のサブ方程式に基づく幾何的枠組みとディリクレ双対性を導入することで、リーマン多様体上の非線形ディリクレ問題について、存在および一意性の定理を確立した。境界の厳密なF-凸性と、全空間における単調性錐の存在が、すべての連続境界データに対して一意解を保証する。これは、ユークリッド空間における結果を、G-構造を有する多様体、特に複素構造およびクaternion的構造を含む一般化した結果である。

ABSTRACT

In this paper we study the Dirichlet problem for fully nonlinear second-order equations on a riemannian manifold. As in a previous paper we define equations via closed subsets of the 2-jet bundle. Basic existence and uniqueness theorems are established in a wide variety of settings. However, the emphasis is on starting with a constant coefficient equation as a model, which then universally determines an equation on every riemannian manifold which is equipped with a topological reduction of the structure group to the invariance group of the model. For example, this covers all branches of the homogeneous complex Monge-Ampere equation on an almost complex hermitian manifold X. In general, for an equation F on a manifold X and a smooth domain D in X, we give geometric conditions which imply that the Dirichlet problem on D is uniquely solvable for all continuous boundary functions. We begin by introducing a weakened form of comparison which has the advantage that local implies global. We then associate to F two natural "conical subequations": a monotonicity subequation M and the asymptotic interior of F. If X carries a global M-subharmonic function, then weak comparison implies full comparison. The asymptotic interior of F is used to formulate boundary convexity and provide barriers. In combination the Dirichlet problem becomes uniquely solvable as claimed. A considerable portion of the paper is concerned with specific examples. They include a wide variety of equations which make sense on any riemannian manifold, and many which hold universally on almost complex or quaternionic hermitian manifolds, or topologically calibrated manifolds.

研究の動機と目的

• 完全非線形2階方程式のディリクレ問題理論を、ユークリッド空間から一般のリーマン多様体へ拡張すること。
• 多様体の境界の幾何的条件および多様体の構造群に基づく、解の存在と一意性を確立すること。
• サブ方程式および双対性の概念を、多様体上の2次ジェットバンドルへ一般化し、非一様および幾何的に定義された方程式の取り扱いを可能にすること。
• 単調性錐と境界F-凸性の概念を導入・適用し、完全な比較原理とバリア構成を保証すること。
• 結果が、ほぼ複素構造、クaternion的構造、トポロジカルに補正された多様体、特に複素Monge-Ampère方程式およびCalabi-Yau型方程式に普遍的に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 閉じた部分集合F ⊂ J²(X)としてサブ方程式Fを定義し、正則性条件（F + P ⊂ F）および負性条件（F + N ⊂ F）を満たす。
• 双対サブ方程式F̃ = −(−F)を用いてディリクレ双対性を導入し、上調和関数と下調和関数を関連付ける。
• 弱い比較原理が完全な比較原理に導くように、弱い比較原理が成立するための単調性錐Mを定義し、全空間におけるM-上調和関数の存在を用いる。
• Fの漸近的挙動に基づき、境界F-凸性を定義し、バリアの構成と解の存在を保証する。
• 局所的なアフィンジェット同値性を用いて非一様方程式を扱い、定数係数モデルを超えた結果の拡張を可能にする。
• 具体的な幾何的方程式に理論を適用し、複素Hessian、クaternion的Hessian、主曲率方程式、およびほぼ複素多様体上のCalabi-Yau型方程式を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体およびその領域のどの幾何的条件下で、完全非線形偏微分方程式のディリクレ問題が、すべての連続境界データに対して一意に解かれるか。
• RQ2 サブ方程式とその双対の間の双対性は、ユークリッド空間から構造群の簡約を伴う一般のリーマン多様体へどのように拡張可能か。
• RQ3 単調性錐と境界F-凸性は、比較原理およびバリア構成において果たす役割は何か。
• RQ4 ほぼ複素構造やクaternion的構造を含むどの設定において、普遍的なサブ方程式が存在し、解の存在を保証するか。
• RQ5 この理論は、非ケーラー多様体上の非一様方程式およびCalabi-Yau型方程式へ拡張可能か。

主な発見

• 境界が厳密にF-凸で、全空間にM-上調和関数が存在する任意の滑らかな領域Ω ⊂⊂ Xに対して、Fのディリクレ問題は、すべての連続境界データに対して一意に解かれる。
• 単調性錐Mの存在により、弱い比較原理が完全な比較原理に導かれ、解の一意性が保証される。
• Fの漸近的挙動に基づく境界F-凸性は、解の存在に必要なバリア条件を提供する。
• S³ × S³のような球面的領域では、共凸（P₁-上調和）関数に対して最大値原理が成立しないことが示され、共凸性が最大値原理を意味しないことが明らかになった。
• ρ = ½δ₁² + ½δ₂² ≤ c で定義される積域Ω_c ⊂ U×Uにおいて、P₂に関して比較原理が成立せず、解の一意性も失われるが、P₃-凸性は厳密に満たされている。
• Ω_cでは、厳密なP₂およびP̃₂-凸性と推移的等長群の存在により、解の存在が保証されるが、同じ境界データを持つ調和関数が一意でないため、解の一意性は失われる。