[論文レビュー] Dirichlet forms and critical exponents on fractals

Qingsong Gu, Ka‐Sing Lau|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非一様抵抗スケーリングを示す非一様p.c.f.フラクタル上のBesov空間における臨界指数の分析のための新規フレームワークを提示する。商ネットワークを用いて、非対称自己相似集合に対して2つの異なる臨界指数σ*とσ#を特定し、標準的なフラクタルにおける等価性とは対照的にσ* < σ#が成立しうることを示す。また、構築された非対称集合においてB²,∞σ*がC(K)に稠密でないことを確立する。

ABSTRACT

Let $B^σ_{2, \infty}$ denote the Besov space defined on a compact set $K \subset {\Bbb R}^d$ which is equipped with an $α$-regular measure $μ$. The {\it critical exponent} $σ^*$ is the supremum of the $σ$ such that $B^σ_{2, \infty} \cap C(K)$ is dense in $C(K)$. It is well-known that for many standard self-similar sets $K$, $B^{σ^*}_{2, \infty}$ are the domain of some local regular Dirichlet forms. In this paper, we explore new situations that the underlying fractal sets admit inhomogeneous resistance scalings, which yield two types of critical exponents. We will restrict our consideration on the p.c.f. sets. We first develop a technique of quotient networks to study the general theory of these critical exponents. We then construct two asymmetric p.c.f. sets, and use them to illustrate the theory and examine the function properties of the associated Besov spaces at the critical exponents; the various Dirichlet forms on these fractals will also be studied.

研究の動機と目的

• 非一様抵抗スケーリングを示す非一様p.c.f.フラクタル上におけるBesov空間B²,∞σにおける臨界指数σ*とσ#の挙動を調査すること。
• 非対称構造を有するp.c.f.フラクタルにおけるエネルギー形式および抵抗スケーリングの分析のための商ネットワーク技法を開発すること。
• σ* < σ#が成り立つ非対称p.c.f.集合の明示的例を構築し、標準的な仮定であるσ* = σ#とは対照的に、その成立を挑戦すること。
• 臨界指数におけるBesov空間の関数的性質を検討し、このようなフラクタル上における局所的正則Dirichlet形式の存在を調べること。

提案手法

• 部分構造を縮約することでp.c.f.フラクタル上の抵抗スケーリングをモデル化するための商ネットワーク法を導入し、境界点における誘導抵抗を分析する。
• Vj上の離散的エネルギー形式Ej[u]を主エネルギーとして表現し、2σ > αの下でEj[u] ∼ ρ^(−(2σ−α)j) [u]²_{B²,∞σ}が成り立つようにする。
• 臨界指数σ*をsup{σ : B²,∞σ ∩ C(K) が C(K) に稠密}として定義し、σ#をsup{σ : B²,∞σ に定数関数以外の関数を含む}として定義する。
• 抵抗スケーリングが異なる2つの非対称p.c.f.フラクタル集合を構築し、σ* < σ#が成り立つ場合を示す。
• 境界点におけるエネルギー形式のトレースを分析し、再帰的抵抗スケーリングを用いてエネルギー列の漸近的挙動を導出する。
• 強連結でないグラフ指向の反復関数系を用いて、混合スケーリング行動を示すフラクタルをモデル化し、Perron-Frobenius固有値を用いてボックス次元を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様抵抗スケーリングを示すp.c.f.フラクタル上では、臨界指数σ*とσ#が異なることがあるか？
• RQ2 非対称p.c.f.フラクタル上におけるBesov空間B²,∞σ*は、特にC(K)への稠密性に関してどのような関数的性質を示すか？
• RQ3 商ネットワーク技法は、非一様フラクタルにおけるエネルギーおよび抵抗スケーリングの分析をどのように可能にするか？
• RQ4 σ > σ*のとき、B²,∞σに非定数関数が含まれる条件は何か？
• RQ5 強連結でない成分を有するグラフ指向IFSは、異なるハウスドルフ次元および無限測度を有するフラクタルを生成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 構築された非対称p.c.f.フラクタルにおいてσ* < σ#が成り立つ。これは、臨界指数が異なる可能性があることを示し、対称フラクタルで観察される標準的な等価性とは対照的である。
• Besov空間B²,∞σ*はC(K)に稠密でない。これは、B²,∞σ*に属する任意の関数が特定の方向（例：p₁p₃に沿って）で定数関数である必要があることから、稠密性が破れることが示された。
• u ∈ B²,∞σ*のとき、エネルギー列{7^n E_n[u]}は有界である。これは、uがp₁p₃方向に定数関数である必要があることを示し、C(K)への稠密性に矛盾する。
• λ₁ = λ₂である強連結でないグラフ指向系では、ボックス次元はα = log λ / |log ρ|のままであるが、H^α(E_i) = ∞であり、無限のハウスドルフ測度を示す。
• 隣接行列Tの最大固有値λがボックス次元α = log λ / |log ρ|を決定し、N_i(n) ∼ λ^n（iが強連結成分に属する場合）が成り立つ。
• λ₁ ≠ λ₂のとき、最大固有値を有する成分に属するiについてN_i(n) ∼ λ^nであり、ボックス次元は依然としてα = log λ / |log ρ|のままである。λ₁ = λ₂の場合に無限測度を示すが、次元は変わらない。